Question

com a palavra ESTUDAR :

quantos anagramas apresentam 3 vogais juntas e em ordem alfabetica?
quantos anagramas apresentam 3 vogais juntas e em qualquer ordem ?

Answer 1

De forma geral, o número de anagramas possíveis de serem formadas é dada por:

$\boxed{\sf Numero~de~Anagramas~=~\dfrac{N_{letras}!}{N_a!\cdot N_b!\cdot ...\cdot N_z!}}$

$\sf Onde:~~\left\{\begin{array}{ccl}\sf N_{letras}&\sf :&\sf Quantidade~total~de~letras\\\sf N_a...N_z&\sf :&\sf Quantidade~de~cada~letra\end{array}\right.$

Dito isso, vamos analisar o que nos foi solicitado.

a) "quantos anagramas apresentam 3 vogais juntas e em ordem alfabética? "

Em ordem alfabética, as vogais estarão sempre na ordem: AEU

Ainda, como estarão sempre juntas, podemos considere-las como um elemento único, isto é, em vez de considerarmos a palavra "ESTUDAR" com 7 letras, consideraremos como tendo apenas 5 letras ("AEU", S, T, D e R).

Por fim, basta efetuarmos o cálculo como foi proposto anteriormente:

$\sf Numero~de~Anagramas~=~\dfrac{N_{letras}!}{N_{AEU}!\cdot N_S\cdot N_T\cdot D!\cdot R!}\\\\\\\sf Numero~de~Anagramas~=~\dfrac{5!}{1!\cdot 1!\cdot 1!\cdot 1!\cdot 1!}\\\\\\\sf Numero~de~Anagramas~=~\dfrac{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{1\cdot 1\cdot 1\cdot 1\cdot 1}\\\\\\\sf Numero~de~Anagramas~=~\dfrac{120}{1}\\\\\\\boxed{\sf Numero~de~Anagramas~=~120}$

b) "quantos anagramas apresentam 3 vogais juntas e em qualquer ordem? "

Semelhante ao que foi proposto no item anterior, consideraremos novamente as três vogais como um único elemento e, consequentemente, admitiremos que a palavra contém 5 letras apenas.

No entanto, agora não é necessário que a ordem alfabética seja mantida, logo estas 3 vogais podem se permutar entre si.

Por exemplo, podemos ter os anagramas "AEUSTDR" e "EUASTDR".

Para contornar, portanto, esta nova condição, o número de anagramas anteriormente calculado deverá ser multiplicado pelo número de permutações (P) possíveis das 3 vogais.

$\sf Numero~de~Anagramas~=~\dfrac{N_{letras}!}{N_{AEU}!\cdot N_S\cdot N_T\cdot D!\cdot R!}~\cdot~ P_{AEU}\\\\\\\sf Numero~de~Anagramas~=~\dfrac{5!}{1!\cdot 1!\cdot 1!\cdot 1!\cdot 1!}~\cdot~3!\\\\\\\sf Numero~de~Anagramas~=~\dfrac{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{1\cdot 1\cdot 1\cdot 1\cdot 1}~\cdot~3\cdot 2\cdot 1\\\\\\\sf Numero~de~Anagramas~=~\dfrac{120}{1}~\cdot~6\\\\\\\boxed{\sf Numero~de~Anagramas~=~720}$

$\Huge{\begin{array}{c}\Delta \tt{\!\!\!\!\!\!\,\,o}\!\!\!\!\!\!\!\!\:\,\perp\end{array}}Qualquer~d\acute{u}vida,~deixe~ um~coment\acute{a}rio$