Question

Com a altura da parede, o grupo de apoio enviou aos garotos e ao seu mestre os equipamentos necessários para este tipo de escalada. Passados os obstáculos e chegando na saída, observa-se outra dificuldade: a saída é alta, mas o chão e a parede não formam um ângulo de 90º.

Nessa condição, se o ângulo formado entre a parede e o chão for agudo, a possibilidade de escalada é praticamente zero, porém, se o ângulo formado.

Angulo agudo
a<90°
Angulo obtuso
a>90°

Nesse contexto, considerando que a equação do chão, que é um dos planos, seja:

4x+y+z=0

E a equação da parede (que é o outro plano) é estabelecida como

2x-y-z=0

Verifique qual o ângulo formado entre o chão e a parede

A partir dessas informações, será possível realizar essa escalada rumo à saída?

Answer 1

O ângulo formado entre o chão e a parede é, aproximadamente, 55º.

Não é possível realizar essa escalada rumo à saída.

Para calcularmos o ângulo entre dois planos, temos que calcular o ângulo entre os seus vetores normais.

Do plano 4x + y + z = 0, temos que o vetor normal é u = (4,1,1).

Já do plano 2x - y - z = 0, temos que o vetor normal é v = (2,-1,-1).

O ângulo entre dois vetores é calculado pela fórmula $cos(\theta)=\frac{<u,v>}{||u||||v||}$.

Calculando o produto interno entre u e v, obtemos:

<u,v> = 4.2 + 1.(-1) + 1.(-1)

<u,v> = 8 - 1 - 1

<u,v> = 6.

Calculando a norma do vetor u:

||u||² = 4² + 1² + 1²

||u||² = 16 + 1 + 1

||u||² = 18

||u|| = √18

||u|| = 3√2.

Calculando a norma do vetor v:

||v||² = 2² + (-1)² + (-1)²

||v||² = 4 + 1 + 1

||v||² = 6

||v|| = √6.

Então, temos que o ângulo é igual a:

$cos(\theta)=\frac{6}{3\sqrt{2}.\sqrt{6}}$

$cos(\theta)=\frac{6}{3.2\sqrt{3}}$

cos(θ) = 1/√3

θ = arccos(1/√3)

θ ≈ 55º.

Como θ é um ângulo agudo, então não será possível realizar essa escalada rumo à saída.