Question

Coloque o numero complexo z = 1+i³/ 1+i na forma trigonométrica.

Answer 1

Número complexo.

Um número complexo é da forma:

$\fbox{\displaystyle Z = a+b.i }$

e seu conjugado da forma :

$\fbox{\displaystyle \bar Z = a-b.i }$

onde :

$a =$ parte real.

$b =$ parte imaginária.

$i =$ unidade imaginária.

também devemos saber que :

$\fbox{\displaystyle i = \sqrt{-1} }$

$\fbox{\displaystyle i^2 = -1 }$

$\fbox{\displaystyle i^3 = -i }$

$\fbox{\displaystyle i^4 = 1 }$  

A forma trigonométrica de um número complexo é dada da seguinte forma:

$\fbox{\displaystyle Z = |Z|.[Cos (\theta) + i.Sen(\theta) ] }$

ou da forma abreviada :

$\fbox{\displaystyle Z = |Z|.[Cis(\theta)] }$

seno e cosseno :

$\fbox{\displaystyle Sen(\theta) = \frac{b}{|Z|} }$

$\fbox{\displaystyle Cos(\theta) = \frac{a}{|Z|} }$

Onde :

$|Z| = \sqrt{a^2 +b^2}$ - módulo do número complexo.

$\theta =$ ângulo de inclinação da reta Z com o plano Real x imaginário.

Sabendo disso, vamos para nossa questão.

A questão nos dá o seguinte número complexo :

$\fbox{\displaystyle Z = \frac{1+i^3}{1+i } }$

sabendo que $i^3 = -i$, temos o seguinte :

$\fbox{\displaystyle Z = \frac{1-i}{1+i } }$

Vamos racionalizar multiplicando em cima e em baixo pelo conjugado do denominador, ou seja :

$\fbox{\displaystyle Z = \frac{(1-i)}{(1+i )}\frac{(1-i)}{(1-i)} \to Z = \frac{1^2 -2.1.i + i^2 }{1-i^2} }$

no denominador fica aquele produto notável $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, sendo $a = 1$ e $b = i$ ( faz com calma que vc chega no resultado acima )

$\fbox{\displaystyle Z = \frac{1^2 -2.1.i + i^2 }{1-i^2} \to Z = \frac{1-2i - 1}{1-(-1)} \to Z = \frac{-2.i}{2} \to Z = -i }$

Sabendo que :

$Z = a+b.i$,

note em $Z = -i$ temos que :

$\fbox{\displaystyle a = 0 }$  e $\fbox{\displaystyle b = -1 }$

logo Vamos acha-lo na forma trigonométrica.

$\fbox{\displaystyle Z = |Z|.[Cos (\theta) + i.Sen(\theta) ] }$

Vamos achar o módulo de z ;

$|Z| = \sqrt{a^2 + b^2} \to |Z| = \sqrt{0 +(-1)^2} \to |Z| = \sqrt{1} \to |Z| = 1$

Agora vamos achar o seno e o cosseno :

$\fbox{\displaystyle Sen(\theta) = \frac{-1}{1} \to Sen(\theta) = -1 }$

$\fbox{\displaystyle Cos(\theta) = \frac{0}{1} \to Cos(\theta) = 0 }$

Qual o ângulo cujo o Seno = -1 e o cosseno = 0 ?

É o ângulo de 270º ou em radianos:

$\displaystyle \frac{3\pi}{2}$

Portanto o número complexo Z na forma trigonométrica fica :

$\fbox{\displaystyle Z = 1.[Cos (270^{\circ}) + i.Sen(270^{\circ}) ] }$

Ou na notação em radianos :

$\fbox{\displaystyle Z = 1.[Cos \frac{3\pi}{2} + i.Sen\frac{3\pi}{2} ] }$

(imagem para melhor compreensão)