Question

Coloque na forma algébrica $(a +bi)$ os números complexos:

$\frac{1+i}{1-i} + \frac{2-i}{2+i}$

Answer 1

1+i/1-i + 2-i/2+i   =          
Vamos resolver as 2 divisões separadamente e depois uni-las:

1 + i/1- i           multiplica encima e embaixo por 1 + i:
(1+i)(1+i)/(1-i)(1+i) = 
(1 + 2i + i²)/(1 - i²) =              i² vale -1
(1 + 2i +(-1)/(1 - (-1)) = 
(1 + 2i - 1)/(1 + 1) = 
2i/2 = i
________________________________________________
2-i/2+i         multiplica encima e embaixo por 2-i
(2-i)(2-i)/(2+i)(2-i) = 
(4 - 8i +i²)/(4 - i²) = 
(4 - 8i +(-1))/(4 - (-1)) = 
(4 - 8i - 1)/(4 + 1) = 
(3 - 8i)/5
_____________________________________
Então fica:

1+i/1-i + 2-i/2+i   =         
i + (3 - 8i)/5 =                  
i + 0,6 - 1,6i = 
0,6 - 0,6i          ou   (3 - 3i)/5

Bons estudos

Answer 2

Quando encontramos uma fração com números complexos, devemos conjugar a fração, ou seja, multiplicamos em cima e em baixo pelo conjugado do denominador.

O conjugado de um número complexo é dado invertendo o sinal da parte imaginária, então temos:

(1 + i)/(1 - i) = (2 - i)/(2 + i)

(1 + i)(1 + i)/(1 - i)(1 + i) = (2 - i)(2 + i)/(2 + i)(2 + i)

Note que teremos produtos notáveis na forma (a + b)² e (a - b)(a + b) que resultam, respectivamente, em a² + 2ab + b² e a² - b², logo:

(1 + i)²/(1 - i)(1 + i) + (2 - i)(2 + i)/(2 + i)²

(1 + 2i + i²)/(1 - i²) + (4 - i²)/(4 + 2i + i²)

(1 + 2i - 1)/(1 - (-1)) + (4 - (-1))/(4 + 2i - 1)

2i/2 + 5/(3 + 2i)

i(3 + 2i) + 5

3i + 2i² + 5

3i - 2i + 5

5 + i

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