Question

Coloque na forma a + bi o numero complexo:
i^4 - 2i² + i^6 - 3i^9/ i^16 - i^20 + i^35

Answer 1

Resposta:

$a = 3 \\ b = 2$

$3 - 2i$

Explicação passo-a-passo:

Sabemos que as potência de i repetem-se de 4 em 4, Desse modo, o resto da divisão do expoente por 4 pode gerar quatro casos :

quando o resto é 0(divisão exata), 1,2 e 3:

${i}^{4n} = 1\\ {i}^{4n + 1} = i \\ {i}^{4n + 2} = - 1 \\ {i}^{4n + 3} = - i$

Onde 4n= resto zero

4n+1=resto 1

4n+2=resto 2

4n+3=resto 3

$\frac{ {i}^{4} - 2 {i}^{2} + {i}^{6} - 3 {i}^{9} }{ {i}^{16} - {i}^{20} + {i}^{35} } = \frac{1 - 2( - 1) + {i}^{2} - 3 {i} }{1 - 1 + {i}^{3} } \\ = \\ \frac{ 1 + 2 - 1 - 3i}{ - i} = \frac{2 - 3i}{i} \times \frac{ - i}{ - i} \\ = \frac{3 - 2i}{1 } = 3 - 2i$

Answer 2

Na forma a + bi, o número complexo é 3 + 2i.

Explicação:

Sabe-se que a unidade imaginária é definida por i² = - 1.

Então, utilizando as propriedades da potenciação, temos:

i⁴ = (i²)² = (-1)² = 1

i⁶ = (i²)³ = (-1)³ = - 1

i⁹ = (i⁴)²·i = (1)²·i = 1·i = i

i¹⁶ = (i⁴)⁴ = 1⁴ = 1

i²⁰ = (i⁴)⁵ = 1⁵ = 1

i³⁵ = (i⁴)⁸·i²·i = 1⁸·i²·i = 1·(-1)·i = (-1)·i = - i

Substituindo esses valores na expressão dada, temos:

i⁴ - 2i² + i⁶ - 3i⁹ =

  i¹⁶ - i²⁰ + i³⁵

1 - 2·(-1) + (-1) - 3·i =

    1 - 1 + (-i)

1 - (-2) - 1 - 3i =

     0 - i

1 + 2 - 1 - 3i =

     0 - i

2 - 3i

 - i

Multiplicando os dois termos da fração por (i), temos:

2 - 3i · (i) = 2·(i) - 3i·(i) = 2i - 3i² = 2i + 3 = 3 + 2i

- i       (i)       (- i)·(i)            -i²           1

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