Question

Coloca-se uma barra de metal à temperatura de 100ºF em uma sala com temperatura constante de 0ºF. Se após, 20 minutos a temperatura da barra é de 50ºF. Determine o tempo, aproximadamente, necessário para a barra chegar a temperatura de 25ºF.Coloca-se uma barra de metal à temperatura de 100ºF em uma sala com temperatura constante de 0ºF. Se após, 20 minutos a temperatura da barra é de 50ºF. Determine o tempo, aproximadamente, necessário para a barra chegar a temperatura de 25ºF.

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

joga na proporção:

100-----20

25------X

100X=500

X=5

20 minutos + 5 = 25 minutos aproximadamente.

Answer 2

Resposta:

40 minutos

Explicação passo-a-passo:

Esse problema utiliza noções de calculo 2. Vamos ao problema:

Primeiro, podemos analisar que a taxa de decaimento da temperatura é proporcional a quantidade. Ou seja, quanto mais alta a temperatura (T), mais rápido ela desce. Com isso, chegamos a equação da variação de temperatura pelo tempo(t):

$\frac{dT}{dt} =kT$

Onde k é uma constante a ser definida. Além disso, k<0 por ser uma taxa decrescente.

Entretanto, não queremos a derivada de T, queremos T. Pois a derivada nos dá a variação da temperatura, já T nos dá a temperatura num determinado tempo. Para isso, precisamos encontrar a solução dessa derivada. Usaremos a técnica do fator integrante* - já que é uma equação linear de primeira ordem:

1. Colocamos na forma linear:

$\frac{dT}{dt}-kT=0$

2. Com o fator integrante, temos:

$\frac{dT}{dt}*e^{-kt}-ke^{-kt}*T=0\\\frac{d}{dt}(e^{-kt}*T)=0 \\e^{-kt}*T=\int\limits {0} \, dt\\e^{-kt}*T=C\\T=Ce^{-kt}\\\\T(t)=Ce^{-kt}$

Onde C é uma constantes.

3. Precisamos encontrar o valor de C. Para isso, usamos a informação inicial de que a barra foi posta no quarto com 100ºF no instante 0. Ou seja, T(0)=100. Com isso, temos:

$T(0)=Ce^{-k*0}\\100=Ce^{0}\\C=100$

Substituindo:

$T(t)=100e^{-kt}$

4. Agora, precisamos encontrar k. Não podemos usar a relação inicial porque isso irá sumir com k, e isso não nos ajudará. Usaremos, então, T(20)=50. Então:

$T(20)=100e^{-k*20}\\50=100e^{-k*20}\\\frac{50}{100}=e^{-k*20}\\ ln(\frac{5}{10})=-k*20\\k=-\frac{ln(\frac{5}{10})}{20}\\k=-0,03465...\\k=-0,035$

Substituindo, temos:

$T(t)=100e^{-0,035t}$

5. Basta, então, colocar o tempo (em minutos) ou a temperatura (T) que você deseja encontrar. Nesse caso, queremos encontrar quando a barra chega em 25ºF:

$T(t)=100e^{-0,035t}\\25=100e^{-0,035t}\\\frac{25}{100}=e^{-0,035t}\\ln (\frac{25}{100})=-0,035t\\\frac{ln (\frac{25}{100})}{-0,035}=t\\t=39,6084...\\t=40$

Ou seja, a barra alcançará a temperatura de 25ºF depois de 40 minutos. CQD.

* A técnica do fator integrante consiste em transformar um lado da equação linear de primeira ordem em uma derivada de duas funções.

Forma de uma equação linear de primeira ordem:

$y'+P(x)y=Q(x)$

Para transformar no que queremos, multiplicamos toda a equação por:

$e^{\int\limits {P(x)} \, dx$

Depois dessa etapa, isolamos a variável que queremos (y, por exemplo) e resolvemos o que restou.