Question

(Colégio Naval) Um restaurante a quilo vende 200 quilos de comida por dia, a 40 reais o quilo. Uma pesquisa de opinião revelou que, a cada aumento de um real no preço do quilo, o restaurante perde 8 clientes por dia, com um consumo médio de 500 gramas cada. Qual deve ser o valor do quilo de comida, em reais, para que o restaurante tenha a maior receita possível por dia?
Gabarito: 45
Alguém explica a resolução bem detalhadamente?

Answer 1

É o seguinte, a questão quer saber o valor do quilo da comida para ter a maior receita, então teremos que utilizar a fórmula de receita:

R(x) = Pv . x

R(x): é a receita
Pv: é o preço da venda
x: é a quantidade vendida

Então precisamos formar as expressões que definem o preço de venda e a quantidade vendida. 

A questão informa que o restaurante vende 200 quilos de comida a 40 reais, e que a cada 1 real a mais (chamaremos de x), o restaurante perde 8 clientes por dia, que equivale a perda de 500 gramas de cada cliente perdido.

obs: x seria a variável para representar a quantidade aumentada, se foi 1 real, 2 reais, 3 reais, 4 reais.....

Então vamos começar pelo preço de venda. Como vimos, o quilo custa 40 reais, e o restaurante pretende adicionar x ao preço do quilo. Então a expressão de venda seria:

40 + x

Agora no caso da quantidade vendida temos que, o restaurante vendia inicialmente 200 quilos e que a cada aumento (x) o restaurante perdia 8 clientes que equivale 500 g cada, ou seja, 500g . 8 = 4 quilos
Ou seja, o restaurante perdia 4 quilos a cada (x) aumento.

Então a expressão da quantidade vendida ficaria assim:

200 - 4x

Agora que temos as duas expressões, é só por na fórmula:
Pv = 40 + x
X = 200 - 4x

R(x) = Pv . x
R(x) = (40 + x)(200 - 4x)
R(x) = 8000 -160x +200x -4x²
R(x) = 4x² - 40x + 8000
R(x) = x² - 10x + 2000

a=1   b= -10  c= 2000

Agora pra sabermos a receita máxima de X, teremos que utilizar o Xv que tem como fórmula:

Xv = -b/2a
Xv = -(-10)/2.1
Xv = 10/2
Xv= 5

Agora descobrimos que 5 é o valor de X para que a receita seja máxima, porém a pergunta é sobre "qual deve ser o valor do quilo de comida", então pegaremos o valor de x = 5 e substituiremos na expressão do valor de venda que fizemos 40 + x

40 + x
40 + 5 = 45

Pronto agora sabemos que o valor da venda do quilo é 45 para que a receita seja máxima. Espero ter ajudado.

Answer 2

Primeiro vamos determinar a Função da receita (lucro)

L(X) = Preço.quantidade vendida

O preço como é dito no enunciado, varia. Então, podemos colocar o preço como 40 reais que é o mínimo cobrado + X reais que pode variar, logo, 40+X

A quantidade vendida inicial era de 200kg por dia, mas ao aumentar o valor o restaurante começou a perder clientes, ele perde 8 clientes a cada X reais a mais, e cada um desses 8 clientes, consumiria 500g, totalizando 4kg que não são consumidos a cada X reais que aumenta... Logo a quantidade vendida são os 200 iniciais menos 4. os X reais acrescentados... 200-4x

Assim, nosso Lucro fica.

$l(x) = (40 + x)(200 - 4x) \\ l(x) = 8000 - 160x + 200x - 4x { }^{2} \\ l(x) = - 4 {x}^{2} + 40x + 8000 \\ l(x) = - {x}^{2} + 10x + 2000$

Para a máxima receita, temos que encontrar o ponto máximo da função, que é o vértice...

Xv = -b/2a

Xv = -10/2(-1)

Xv = 5

Logo o preço da comida, para o lucro ser máximo, deve ser 40+x sendo x = 5

40+5 = 45