Question

( Colégio naval ) preciso da resolução padrão.

Answer 1

$x^{2} =343= 7^{3}$ ⇒ $(x^{2})^{12} = (7^{3})^{12}$ ⇒ $x^{24} = 7^{36}$

$y^{3} = 49^{2} = ( 7^{2} )^{2} = 7^{4}$ ⇒ $(y^{3})^{8} = (7^{4})^{8}$ ⇒ $y^{24} = 7^{32}$

$z^{6} = 7^{5}$ ⇒ $(z^{6})^{4} = (7^{5})^{4}$ ⇒ $z^{24} = 7^{20}$

$( \frac{xy}{z} )^{24} = \frac{ x^{24} . y^{24} }{ z^{24} } = \frac{ 7^{36} . 7^{32} }{ 7^{20} } =\frac{7^{36+32} }{ 7^{20} }=\frac{ 7^{68} }{ 7^{20} }= 7^{68-20} = 7^{48}$

Temos o número 7 multiplicado por ele mesmo 48 vezes, ou seja, 48 fatores 7.

Havendo apenas 1 fator 7, o algarismo é único e igual a 7.
Havendo dois fatores 7, o produto é 7.7 = 49. O algarismo das unidades é 9.
Com três fatores 7, temos 7.7.7 = 343. O algarismo das unidades é 3.
Com quatro, 7.7.7.7 = 2401. O algarismo das unidades é 1.
Com cinco, recomeça o ciclo de algarismos das unidades: 7, 9, 3 e 1. Note que o algarismo das unidades assume apenas 4 valores ciclicamente.

Concluímos que, como o expoente 48 é múltiplo de quatro, $7^{48}$ tem o algarismo das unidades igual a 1.