Question

( Colégio Naval - 91 ) Qual a solução do sistema abaixo?
$\left \{ {{\sqrt{\sqrt{x}+2} . \sqrt{\sqrt{x}-2} - 5.\sqrt[4]{x-4} +6\ \textless \ 0} \atop {\frac{1500}{x} +x\ \textgreater \ 80}} \right.$

a)$x\ \textgreater \ 85$
b)$30\ \textless \ x\ \textless \ 50$
c)$20\ \textless \ x\ \textless \ 85$
d)$20\ \textless \ x\ \textless \ 50$ ou $x\ \textgreater \ 85$
e)$20\ \textless \ x\ \textless \ 30$ ou $50\ \textless \ x\ \textless \ 85$

Answer 1

Temos o seguinte problema

$\fbox{\displaystyle \left \{ {{\sqrt{\sqrt{x}+2}.\sqrt{\sqrt{x}-2} -5.\sqrt[4]{x-4}+6<0} \atop {\frac{1500}{x} + x > 80}} \right. }$

Vamos resolver as duas separadamente e depois analisar as mudanças de sinais.

$\fbox{\displaystyle \sqrt{\sqrt{x}+2}.\sqrt{\sqrt{x}-2} -5.\sqrt[4]{x-4}+6<0 }$

Vamos fazer a multiplicação dos dois primeiros termos, ficando assim:

$\fbox {\displaystyle \sqrt{\sqrt{x}+2}.\sqrt{\sqrt{x}-2} = \sqrt{\sqrt{x}^2 - 2^2} = \sqrt{x-4} }$

( é aquele produto notável $(a-b).(a+b) = a^2 - b^2$, só fazer com calma que vc chega nesse resultado de cima)

Agora vamos voltar na equação e substituir conforme calculado. Assim :

$\fbox{\displaystyle \sqrt{x-4} -5.\sqrt[4]{x-4}+6<0 }$

Agora vamos fazer uma mudança de variável, adotando o seguinte:

$\displaystyle \sqrt[4]{x-4} = k$  

Note que se elevarmos ao quadrado dos dois lados, fica assim

$\displaystyle \sqrt[2]{x-4} = k^2$

Então, podemos voltar na equação e substituir, tendo a seguinte equação do 2º grau :

$\fbox{\displaystyle k^2-5.k+6<0 }$

Fazendo bhaskara :

$\fbox{\displaystyle k = \frac{-(-5) \pm \sqrt{5^2 - 4.6}}{2.1} }$⇒$\fbox{\displaystyle k = \frac{5) \pm \sqrt{25 - 24}}{2} \to K = \frac{5\pm 1}{2} }$

ou seja

$\fbox{\displaystyle k = \frac{5+1}{2} \to K = 3 }$

ou

$\fbox{\displaystyle k = \frac{5-1}{2} \to k = 2 }$

Agora podemos desfazer a mudança de variável e achar o x.

$\fbox {\displaystyle \sqrt[4]{x-4} = k \to \sqrt[4]{x-4} = 3 }$

elevando a quarta potência dos dois lados :

$\fbox {\displaystyle (\sqrt[4]{x-4})^4 = (3)^4 \to x-4 = 81 \to x = 85 }$  

ou

$\fbox {\displaystyle \sqrt[4]{x-4} = k \to \sqrt[4]{x-4} = 2 }$

elevando a quarta potência dos dois lados :

$\fbox {\displaystyle (\sqrt[4]{x-4})^4 = (2)^4 \to x-4 = 16 \to x = 20 }$

Agora vamos resolver a segunda equação do sistema:

$\fbox{\displaystyle \frac{1500}{x} + x > 80 }$

Vamos multiplicar toda equação por x para sumir com denominador. Ficando assim :

$\fbox{\displaystyle 1500 + x^2 > 80x }$

Passando o termo para o lado esquerdo da igualdade:

$\fbox{\displaystyle x^2 -80x + 1500>0 }$

Fazendo bhaskara :  

$\fbox{\displaystyle x = \frac{-(-80) \pm \sqrt{(-80)^2 - 4.1500}}{2.1} }$

$\fbox{\displaystyle x = \frac{80 \pm \sqrt{6400 - 6000}}{2} \to x = \frac{80 \pm \sqrt{400}}{2} \to x = \frac{80 \pm 20}{2} }$

portanto :

$\fbox{\displaystyle x = \frac{80+20}{2} \to x = 50 }$

e

$\fbox{\displaystyle x= \frac{80-20}{2} \to x = 30 }$

Então temos os seguintes valores

1ª equação : x = 85 e x = 20 ( com a expressão <0 )

Note que a concavidade da parábola é virada para cima, então ao desenhar o gráfico vc vai notar que a função é negativa no intervalo :

$\fbox{\displaystyle 20 <x<85 }$

2ª equação : x = 50 e x = 30 ( com a expressão >0 )

A concavidade da parábola é virada para cima, logo ao fazer o gráfico, vc vai notar que a função é positiva no intervalo :

$\fbox{\displaystyle x>50, x < 30 }$

Ao fazer o gráfico de sinais, e analisar a interseção entre eles, temos que :

$\fbox{\displaystyle 20<x<30 }$ ou $\fbox{\displaystyle 50<x<85 }$

Letra E

(coloquei um pequeno estudo de sinais nos gráficos e a interseção entre eles )