Question

(Colégio Naval - 2020) A soma e o produto das raízes x₁ e x₂ de uma equação do 2.º grau são iguais. Se "s" é a soma das raízes da equação, é correto afirmar que a expressão

$\Large\text{ \sf x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\dfrac{s^2}{x_{1}^{2}}+\dfrac{s^2}{x_{2}^{2}} }$

é igual a:

a) s² – 4s
b) s² – 8s
c) 4s² – 16s
d) 2s² + 8s
e) 2s² – 4s

Answer 1

Resposta:

Alternativa correta é a letra e)

Explicação passo a passo:Soma das raízes = x1+ x2 = s

Produto das raízes = x1 . x2 = s

x1+ x2 = x1 . x2 = s

Do produto notável  

(x1 + x2)² = x1² + x2² + 2.x1.x2

x1² + x2² = (x1 + x2)² - 2.x1.x2

x1² + x2² = s² - 2s

Agora vamos simplificar a expressão  

x1² + x2² + s²/x1² + s²/x2²

s² - 2s  +   (s² . x2² + s² . x1²) / (x1² . x2²)

s² - 2s  +   s² . (x1² + x2²) / (x1 . x2)²

s² - 2s  +   s² . (s² - 2s) / (s)²

s² - 2s  +   (s² - 2s)

2s² - 4s

Answer 2

⠀⠀É correto afirmar que o valor da expressão proposta se configura na alternativa e. $\boldsymbol{\sf 2s^2-4s}$

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Considerações

⠀⠀Sabemos que a soma e o produto das raízes $\sf x_1$ e $\sf x_2$ de uma equação são iguais. Logo, considerando $\sf s$ e $\sf p$, respectivamente, a soma e o produto das raízes, podemos estabelecer a relação $\sf x_1+x_2=s=p$ e também $\sf x_1x_2=p=s$, pois se ambos tem valores iguais podemos representa-los por letras iguais.

⠀⠀Com essas informações, desejamos calcular o valor da expressão abaixo:

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                                        $\huge\begin{array}{l}\sf x_1^2+x_2^2+\dfrac{s^2}{x_1^2}+\dfrac{s^2}{x_2^2}\end{array}$

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Resolução

⠀⠀Inicialmente, vamos somar essas frações para ver no que dá:

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                                          $\Large\begin{array}{c}\sf x_1^2+x_2^2+\dfrac{s^2}{x_1^2}+\dfrac{s^2}{x_2^2}\\\\\sf x_1^2+x_2^2+\dfrac{s^2x_2^2}{x_1^2x_2^2}+\dfrac{s^2x_1^2}{x_1^2x_2^2}\\\\\sf x_1^2+x_2^2+\dfrac{s^2x_2^2+s^2x_1^2}{x_1^2x_2^2}\\\\\sf x_1^2+x_2^2+\dfrac{s^2(x_1^2+x_2^2)}{(x_1x_2)^2}\end{array}$

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⠀⠀Beleza! Veja que como já foi falado, o produto das raízes é igual a $\sf s$, logo:

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                                          $\Large\begin{array}{c}\sf x_1^2+x_2^2+\dfrac{s^2(x_1^2+x_2^2)}{(s)^2}\\\\\sf x_1^2+x_2^2+\dfrac{\diagdown\!\!\!\! s^2(x_1^2+x_2^2)}{\diagdown\!\!\!\!s^2}\\\\\sf x_1^2+x_2^2+(x_1^2+x_2^2)\\\\\sf1(x_1^2+x_2^2)+1(x_1^2+x_2^2)\\\\\sf2(x_1^2+x_2^2)~~_{(i)}\end{array}$

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⠀⠀Então basicamente, após a substituição foi possível cancelar os fatores $\sf s^2$ da divisão, e por conseguinte obtemos somas dos quadrados das raízes, onde foi possível colocar o fator comum em evidência.

⠀⠀Agora nós precisamos encontrar o valor de $\sf x_1^2+x_2^2$, e para isso podemos pensar em desenvolver um quadrado da soma de dois termos, que é um produto notável em que $\small\sf(m+n)^2=m^2+2mn+n^2$, sendo $\sf m$ e $\sf n$ esses dois termos. Portanto, elevando a soma das raízes ao quadrado iremos obter:

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                             $\Large\begin{array}{c}\sf x_1+x_2\\\\\sf (x_1+x_2)^2=(x_1)^2+2x_1x_2+(x_2)^2\\\\\sf (x_1+x_2)^2=x_1^2+2x_1x_2+x_2^2\\\\\sf x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2~~_{(ii)}\end{array}$

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⠀⠀Então o que fizemos através de uma manipulação foi isolar essa soma para que obtivéssemos seu valor. Assim, substituindo (ii) na expressão (i), obtemos:

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                                          $\Large\begin{array}{c}\sf2[(x_1+x_2)^2-2x_1x_2]\end{array}$

⠀⠀E por fim, como a soma e o produto das raízes são iguais, nesse caso considerando-os iguais a $\sf s$, podemos fazer a substituição de modo a encontrar:

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                                                    $\Large\begin{array}{c}\sf2[(s)^2-2s]\\\\\sf2(s^2-2s)\\\\\!\boxed{\sf2s^2-4s}\end{array}$

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⠀⠀Assim, afirmamos que $\small\sf x_1^2+x_2^2+\frac{s^2}{x_1^2}+\frac{s^2}{x_2^2}=2s^2-4s$ e, portanto, a alternativa e. responde a questão.

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$\!\!\!\!\Large\boldsymbol{\begin{array}{l}\beta\gamma~N\alpha sg\theta v\alpha sk\theta v\\\Huge\text{\sf ---------------------------------------------}\end{array}}$

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           $\large\boldsymbol{O\beta r\iota g\alpha d\theta~\rho el\alpha~q\upsilon es\tau\alpha\theta~e~\upsilon m~cord\iota\alpha l~\alpha \beta r\alpha c_{\!\!\!,}\,\theta!~\heartsuit}$