Question

(Colégio Naval - 1978) A soma dos valores reais de "k" que fazem com que a equação x² – 2(k + 1)x + k² + 2k – 3 = 0 tenha uma de suas raízes igual ao quadrado da outra é:


a) 3

b) 4

c) 5

d) 6

e) 7

Answer 1

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos lembrar de algumas propriedades estudadas sobre equações quadráticas.

Primeiro, demonstra-se que a equação admite duas raízes reais independentemente dos valores de $k$:

O discriminante de uma equação quadrática de coeficientes reais $ax^2+bx+c=0,~a\neq0$ é dado pela fórmula $\Delta=b^2-4ac$.

• Se $\Delta>0$, a equação admite duas raízes reais distintas.
• Se $\Delta=0$, a equação admite duas raízes reais iguais.
• Se $\Delta<0$, a equação admite duas raízes complexas conjugadas.

Então, substituindo os coeficientes $a=1,~b=-2\cdot(k+1)$ e $c=k^2+2k-3$, em função do número $k$, calculamos o discriminante da equação:

$\Delta=(-2\cdot(k+1))^2-4\cdot1\cdot(k^2+2k-3)\\\\\\ \Delta=4k^2+8k+4-4k^2-8k+12\\\\\\ \Delta = 16>0$

Assim, conclui-se que esta equação admite duas raízes reais distintas.

Então, substituímos os mesmos coeficientes na fórmula resolutiva de uma equação quadrática: $x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$, de modo que tenhamos:

$x=\dfrac{-(-2\cdot(k+1))\pm\sqrt{16}}{2\cdot 1}$

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação e calcule o radical, sabendo que $16=2^4$.

$x=\dfrac{2k+2\pm4}{2}$

Separe as soluções, some os termos nos numeradores e simplifique as frações.

$x_1=\dfrac{2k+2-4}{2},~x_2=\dfrac{2k+2+4}{2}\\\\\\\Rightarrow x_1=k-1,~x_2=k+3$

Então, assumindo que $x_2={x_1}^2$, calculamos os valores de $k$ que satisfazem esta igualdade:

$k+3=(k-1)^2\\\\\\ k+3=k^2-2k+1\\\\\\ k^2-3k-2=0$

Esta é uma equação da forma $x^2-Sx+P=0$, onde $S$ é a soma das raízes da equação e $P$ é o produto destas raízes. Facilmente, conclui-se que a soma dos valores de $k$ que satisfazem a condição inicial é igual a $3$ e é a resposta contida na letra a).

Se tivéssemos assumido $x_1={x_2}^2$, note que para qualquer valor real de $k$, vale a desigualdade $k-1<k+3$.

Dessa forma, não podemos assumir que um número menor seja igual ao quadrado de outro número maior e, portanto, a resposta final é a letra a). $\blacksquare$