Question

Colégio Estadual Professor Victório Emanuel Abrozino – EFM. Professor: Carlos Lange Disciplina: Matemática Turma: 2o A Nome: _____________________________________________ no ____ Lista de exercícios (trabalho avaliativo 2o trimestre. Conteúdo: permutações, arranjos, combinações, Binômio de Newton) Definição e exemplos: Fatorial de um número natural n Definição: o fatorial de um número natural n é definido da seguinte forma: n!=n⋅(n−1)⋅(n−2)⋅...⋅3⋅2⋅1 Obs: considera-se 0! = 1. Exemplos: a) o fatorial de 5 é 5! = 5.4.3.2.1 = 120 b) o fatorial de 10! 8! é 10 ! 8 ! = 10.9 .8! 8 ! =10.9=90 (aqui o valor de 8! no numerador é cancelado com o mesmo valor no denominador). 1) Calcule os seguintes fatoriais: a) 7! b) 6! 4! c) 20 ! 18 ! d) n! (n+1)! e) n! (n−2)! 2) De quantas maneiras uma família de 5 pessoas pode sentar-se em um banco de 5 lugares para tirar uma foto? 3) De quantas maneiras diferentes podemos dispor uma equipe de 4 alunos numa sala de aula que tem 30 carteiras? 4) Quantas equipes de 3 astronautas podem ser formadas com 20 astronautas? 5) Quantos anagramas da palavra CAMARADA começam por A? 6) Efetue os seguintes desenvolvimentos: a) (x+2) 5 b) (a−3) 4 c) ( y+1) 6 50 PONTOS

Answer 1

Resposta:

O Binômio de Newton refere-se a potência na forma (x + y)n , onde x e y são números reais e n é um número natural.

O desenvolvimento do binômio de Newton em alguns casos é bastante simples. Podendo ser feita multiplicando-se diretamente todos os termos.

Contudo, nem sempre é conveniente utilizar esse método, pois de acordo com o expoente, os cálculos ficarão extremamente trabalhosos.

Exemplo

Represente a forma expandida do binômio (4 + y)3:

Como o expoente do binômio é 3, vamos multiplicar os termos da seguinte forma:

(4 + y) . (4 + y) . (4 + y) = (16 + 8y + y2) . (4 + y) = 64 + 48y + 12y2 + y3

Fórmula do Binômio de Newton

O binômio de Newton é um método simples que permite determinar a enésima potência de um binômio.

Esse método foi desenvolvido pelo inglês Isaac Newton (1643-1727) e é aplicado em cálculos de probabilidades e estatísticas.

A fórmula do binômio de Newton podendo ser escrita como:

(x + y)n = Cn0 y0 xn + Cn1 y1 xn - 1+ Cn2 y2 xn - 2 +... + Cnn yn x0

ou

Fórmula do binômio de Newton

Sendo,

Cnp : número de combinações de n elementos tomados p a p.

número binomial

número binomial

n! : fatorial de n. É calculado como n = n (n - 1)(n - 2) . ... . 3 . 2 . 1

p! : fatorial de p