Question

(CN) Qual a soma das raízes quadradas das raízes da equação do segundo grau x²-6x+2=0

a) (6 +22^½)^½
b) (6 + 23^½)^½
c) (3 + 22^½)^½
d) (3 + 23^½)^½
e) (3 + 32^½)^½​

Answer 1

Resposta: Encontra-se no final desta resolução. A alternativa a) está correta.

Explicação passo-a-passo:

O exercício pede a soma das raízes quadradas das raízes da equação quadrática (do segundo grau) $x^{2}-6x+2=0$. Para que seja possível extrair a raiz quadrada de cada uma das raízes $x_{1}$ e $x_{2}$ da equação, deve-se garantir que estes valores são números reais não negativos. Para isso, lembre-se que a soma $S=x_{1}+x_{2}$ das raízes é $S=\cfrac{-\left(-6\right)}{1}=6$ e o produto $P=x_{1} \cdot x_{2}$ vale $P=\cfrac{2}{1}=2$. Note que o produto $P$ das raízes é positivo $\left(P\ \in\ \mathbb{N}^{*}\right)$, a soma $S$ é positiva $\left(S\ \in\ \mathbb{Z_{+}^{*}}=\mathbb{N^{*}}\right)$, e o discriminante (delta) $\Delta=\left(-6\right)^{2}-4 \cdot 1 \cdot 2=28$ também é positivo $\left(\Delta\ \in\ \mathbb{Z_{+}^{*}}\right)$, logo as raízes $x_{1}$ e $x_{2}$ são reais positivos $\left(x_{1},\ x_{2}\ \in\ \mathbb{R_{+}^{*}}\right)$. O fato de $x_{1}$ e $x_{2}$ serem reais positivos implica que a soma $\sqrt{x_{1}}+\sqrt{x_{2}}$ é também real e positiva $\left(x_{1},\ x_{2}\ \in\ \mathbb{R_{+}^{*}}\ \Rightarrow\ \sqrt{x_{1}}+\sqrt{x_{2}}\ \in\ \mathbb{R_{+}^{*}}\right)$, ao passo que a extração de raízes quadradas de valores positivos (maiores que zero) fornece apenas valores positivos. Tendo em mente todas as considerações acima, obtém-se para $\sqrt{x_{1}}+\sqrt{x_{2}}$ o seguinte valor:

$\left(\sqrt{x_{1}}+\sqrt{x_{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{x_{1}}\right)^{2}+2 \cdot\sqrt{x_{1}} \cdot \sqrt{x_{2}}+\left(\sqrt{x_{2}}\right)^{2}\ \ \ \Leftrightarrow$

$\left(\sqrt{x_{1}}+\sqrt{x_{2}}\right)^{2}=x_{1}+x_{2}+2\sqrt{x_{1} \cdot x_{2}}\ \ \ \Leftrightarrow$

$\left(\sqrt{x_{1}}+\sqrt{x_{2}}\right)^{2}=6+2\sqrt{2}\ \ \ \land\ \ \ \left(\sqrt{x_{1}}+\sqrt{x_{2}}\right)\ \in\ \mathbb{R_{+}^{*}}\ \ \ \Leftrightarrow$

$\sqrt{x_{1}}+\sqrt{x_{2}}=\sqrt{6+2\sqrt{2}}=\left(6+2 \cdot 2^{\cfrac{1}{2}}\right)^{\cfrac{1}{2}}$

Um grande abraço!

Answer 2

Resposta:

x²-6x+2=0

x²-6x+9-9+2=0

(x-3)²-7=0

(x-3)=±√7

x'=3+√7

x''=3-√7

√[3+√7] + √[3-√7]

[√[3+√7] + √[3-√7] ]² =[3+√7] +[3-√7]  +2*[3+√7] *[3-√7]

[√[3+√7] + √[3-√7] ]² =6 +2*√[3²-√7²]

[√[3+√7] + √[3-√7] ]² =6 +2*√2=

√[3+√7] + √[3-√7]   =√(6 +2*√2) =(6 +2*√2)^(1/2)

Letra A