Question

(CMRJ) Sabendo que
$\large \text { \sf \dfrac{ {x}^{2} + {y}^{2} + 2x + 2xy + 2y - 15 }{x + y - 3} = 13 \: }$
determine o valor de x + y​

Answer 1

Desenvolvendo a equação, encontramos que x + y é igual a 8.

Resolução do exercício

Para resolver a equação usaremos o seguinte produto notável:

• Quadrado da soma: (x+y)² = x² + 2xy + y².

Além disso, utilizaremos a fatoração por fator comum em evidência:

• Fator comum em evidência: 2x + 2y = 2(x + y).

Desenvolvendo a equação:

$\large \displaystyle \text { \mathsf{\dfrac{\red{x^{2}} + \red{y^{2}}+ 2x +\red{2xy} + 2y - 15}{x + y - 3} = 13\rightarrow \red{Quadrado~da~soma}} }\\\\\\\large \displaystyle \text { \mathsf{\dfrac{(x+y)^{2}+\purple{2}x+ \purple{2}y-15}{x+y-3}= 13\rightarrow \purple{Fator~comum~em~evidencia}} }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{\dfrac{(\blue{x+y})^{2} + 2(\blue{x+y})-15}{\blue{x+y}-3}= 13\rightarrow \blue{Substitua~x+y~pela~incognita~"Z"}} }\\\\\\\large \displaystyle \text { \mathsf{\dfrac{Z^{2} + 2Z-15}{Z - 3}= 13} }\\\\\\\large \displaystyle \text { \mathsf{Z^{2} + 2Z - 15 = 13Z - 39} }\\\large \displaystyle \text { \mathsf{\orange{Z^{2}-11Z+24 = 0}~~~~\rightarrow \orange{Aplique~a~formula~de~Bhaskara}} }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{Z = \dfrac{-(-11)\pm\sqrt{11^{2} - 4 . 1 . 24} }{2 . 1}} }\\\\\\\large \displaystyle \text { \mathsf{Z = \dfrac{11\pm\sqrt{121 - 96} }{2}} }\\\\\\\large \displaystyle \text { \mathsf{Z = \dfrac{11\pm\sqrt{25} }{2}} }\\\\\\\large \displaystyle \text { \mathsf{Z=\dfrac{11\pm5}{2}\left\{\begin{matrix}Z_{1} = \dfrac{11+5}{2} = \boxed{8}\\\\Z_{2}= \dfrac{11-5}{2} = \boxed{3}\end{matrix}\right.} }$

Encontramos que Z₁ = 8 e Z₂ = 3.

Entretanto, perceba que se Z = 3 o denominador da fração fica igual a 0, o que a torna indeterminada.

Portanto temos que Z = 8, ou seja, x + y = 8.

⭐ Espero ter ajudado! ⭐

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