Question

(CM–RJ 2020) Em um plano cartesiano, os pontos A(0, 3),B(√3, 0) e C(x, 3) formam um triângulo retângulo em B. De acordo com essas informações, o valor de x é:
a) 3
b) 3√3
c) 4
d) 4√3
e) 5

Answer 1

O valor de x é 4√3.

Em um triângulo retângulo, podemos aplicar o Teorema de Pitágoras, assim, para descobrir o valor de x, basta calcular as distâncias entre os três pontos no plano cartesiano, que nos fornecerão os lados e depois usar Pitágoras.

$D_{AB} = \sqrt{(0-\sqrt3)^2+(3-0)^2} = \sqrt{3+9} = \sqrt{12}\\\\\\ D_{BC} = \sqrt{(\sqrt3-x)^2+(0-3)^2} = \sqrt{3-2x\sqrt3+x^2+9} = \sqrt{x^2-2x\sqrt3+12}\\\\\\ D_{CA} = \sqrt{(x-0)^2+(3-3)^2} = \sqrt{x^2}$

Encontrados os três lados, vamos aplicar Pitágoras. Seu triângulo é retângulo em B, isso significa que o maior lado é o oposto a ele, ou seja, CA é nossa hipotenusa.

$(D_{CA})^2 = (D_{AB})^2 + ( D_{BC} )^2\\\\\\(\sqrt{x^2} )^2 = (\sqrt{12})^2 + (\sqrt{x^2-2x\sqrt3+12})^2\\\\\\x^2 = 12 + x^2 -2x\sqrt3 + 12\\\\\\2x\sqrt3= 24\\\\\\x = \dfrac{24}{2\sqrt3}\\\\\\x = \dfrac{12\sqrt3}{3}\\\\\\x = 4\sqrt3$

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