Question

Claudia tem 10 anos a mais que Mara. Sabendo-se que a soma dos
quadrados das duas idades é igual a 50 vezes a idades de Mara e
que Mara tem mais de 5 anos, a idade de Cláudia é:
a) 25 anos.
b) 22 anos.
c) 20 anos.
d) 18 anos.

Answer 1

Claudia tem x anos

Mara tem y anos

x = y + 10 => y = x - 10

x² + y² = 50y

x² + (x - 10)² = 50 . (x - 10)

x² + x² - 20x + 100 = 50x - 500

2x² - 20x - 50x + 100 +500 = 0

2x² - 70x + 600 = 0

Dividindo todos os termos dessa equação por 2

x² - 35x + 300 = 0

Δ = b² - 4ac
Δ = (-35)² - 4.(1).(300)
Δ = 1225 - 1200
Δ = 25

$x = \frac{-b \frac{+}{-} \sqrt{b^2-4ac} }{2a}$

$x = \frac{-(-35) \frac{+}{-} \sqrt{25} }{2}$

$x = \frac{35 \frac{+}{-} 5 }{2}$

$x' = \frac{35+5}{2}$

$x' = \frac{40}{2}$

$x' = 20$

$x" = \frac{35-5}{2}$

$x" = \frac{30}{2}$

$x" = 15$

Duas respostas possíveis

Se Cláudia tem 15 anos, então Mara terá

y = x - 10
y = 15 - 10
y = 5 (não pode ser, pois o enunciado afirma que Mara tem mais de 5 anos), logo 15 não serve como solução.

Logo a idade da Claudia é de 20 anos.

Answer 2

  { C = M + 10 -----substitui na outra equação --(i)
  { C²+ M² = 50M
    (M+10)² + M² = 50M
    M² + 20M + 100 + M² = 50M
    2M² +20M - 50M + 100 = 0
    2M² - 30M + 100 = 0 (:2)
      M² - 15M + 50  = 0 ---usando Báskara
    
     Δ= b²-4ac = 225 - 200 = 25
   √Δ= ±√25 = ±5
  
   M = (15-5)/2 = 5 anos <-- não serve pois ela tem mais de 5 anos
   M = (15+5)/2 = 10 anos <-- idade de Mara

(i) C = M+10 --> C=10 + 10 --> C=20 anos <-- idade de Claudia