Question

Cláudia faz doces de abóbora, coco e abóbora com coco, e os vende em caixas. Considere que em cada caixa 2/3 dos doces têm coco e 5/9 têm abóbora. Qual a fração dos doces da caixa que corresponde aos doces de abóbora com coco?

Answer 1

Temos então 3 sabores de doces, "abóbora", "coco" e "abobora com coco", este ultimo sendo a mistura do sabor dos dois primeiros.

Seja "A" a fração dos doces de Abobora, "C" a fração dos doces de Coco e "AC" a fração dos doces de Abobora com Coco, podemos montar a primeira equação:

$~\boxed{A~+~C~+~AC~=~1~Caixa}~~~~~~~~[Equacao~1]$

Segundo o texto, 2/3 dos doces da caixa têm coco. Os doces que têm coco são dois, doce de coco e doce de abobora com coco, logo:

$~\boxed{C~+~AC~=~\frac{2}{3}~Caixa}~~~~~~~~[Equacao~2]$

Ainda, temos a informação de que 5/9 dos doces da caixa têm abóbora. Os doces que têm coco são dois, doce de abóbora e doce de abobora com coco, logo:

$~\boxed{A~+~AC~=~\frac{5}{9}~Caixa}~~~~~~~~[Equacao~3]$

Queremos saber a fração da caixa com doces de abobora com coco e, para isso, precisamos primeiro isolar as variáveis "C" e "A" nas equações 2 e 3 respectivamente:

$C~+~AC~=~\frac{2}{3}~Caixa~~~\rightarrow~~~\boxed{C~=~\frac{2}{3}~-~AC}\\\\\\\\A~+~AC~=~\frac{5}{9}~Caixa~~~\rightarrow~~~\boxed{A~=~\frac{5}{9}~-~AC}$

Substituindo agora "C" e "A" na equação 1, temos:

$A~+~C~+~AC~=~1~Caixa\\\\\\\left(\frac{5}{9}-AC\right)~+~\left(\frac{2}{3}-AC\right)~+~AC~=~1\\\\\\\frac{5}{9}~+~\frac{2}{3}~+~AC~-~AC~-~AC~=~1\\\\\\\frac{11}{9}~-~2AC~=~1\\\\\\-2AC~=~1~-~\frac{11}{9}\\\\\\-2AC~=\,-\frac{2}{9}\\\\\\AC~=~\dfrac{-\frac{2}{9}}{-2}\\\\\\\boxed{AC~=~\frac{1}{9}~da~Caixa}$