Classifique, quanto ao número de soluções, os seguintes sistemas homogêneos (apresentar conta justificando sua resposta):
a) 3x1-4x2=0
-6x1+8x2=0
b) x+y+z=0
2x+2y+4z = 0
x+y+3z=0
c) x+y+2z=0
x-y-3z=0
x+4y=0
Soluções para a tarefa
Os sistemas são: a) Possível e Indeterminado; b) Possível e Indeterminado; c) Possível e Determinado.
a) Observe que ao multiplicarmos a segunda equação por -1, obteremos 6x₁ - 8x₂ = 0.
Dividindo essa equação por 2, ficaremos com 3x₁ - 4x₂ = 0.
Veja que essa equação é idêntica a primeira equação do sistema.
Isso quer dizer que o sistema possui infinitas soluções e é classificado como possível e indeterminado.
b) Da primeira equação, podemos dizer que x = -y - z.
Substituindo o valor de x na terceira equação:
-y - z + y + 3z = 0
2z = 0
z = 0.
Logo, o valor de x é x = -y.
Substituindo os valores de x e z na segunda equação:
2.(-y) + 2y + 4.0 = 0
-2y + 2y = 0
0 = 0.
Ou seja, as soluções do sistema serão da forma (-y, y, 0).
Portanto, o sistema possui infinitas soluções e é classificado como possível e indeterminado.
c) Da terceira equação, temos que x = -4y.
Substituindo o valor de x na segunda equação:
-4y - y - 3z = 0
-5y = 3z
y = -3z/5.
Então:
x = -4.(-3z/5)
x = 12z/5
Substituindo os valores de x e y na primeira equação:
12z/5 - 3z/5 + 2z = 0
9z/5 + 2z = 0
19z/5 = 0
19z = 0
z = 0.
Consequentemente, x = y = 0.
Portanto, o sistema tem uma única solução e é classificado como possível e determinado.