Question

Classifique em verdadeiras ( v ) ou falsas ( F ) as afirmações seguintes:

a ) Existe um número real α ∈ [ 0, 2 π ] tal que sec α = 1 / 2.

b ) Se α ∈ [ 0, π / 2 ], então sec α ≥ 1.

c ) Existe um número real α ∈ [ 0, 2 π ] tal que cotg α = 3 e cossec α = 3.

d ) Cotg 7 π / 8 * Sec 7 π / 8 > 0

Obs: quero a explicação.

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Alissons, que a resolução é mais ou menos simples.
Pede-se para informar se são verdadeiras ou falsas as seguintes sentenças:

a)  Existe um número real α ∈ [ 0, 2π ] tal que sec α = 1 / 2.

Veja que sec(α) = 1/cos(α). Então vamos impor que isto é igual a "1/2". Assim, teremos:

1/cos(α) = 1/2 ----- multiplicando-se em cruz, teremos:
2*1 = 1*cos(α) ---- ou apenas:
2 = cos(α) --- vamos apenas inverter, ficando:
cos(α) = 2 <---- Veja que isso é impossível, pois o cosseno varia de "-1" a "+1" em todo o círculo trigonométrico. Logo, cos(α) jamais poderia ser igual a "2".
Então a sentença do item "a" é FALSA.


b ) Se α ∈ [ 0, π/2 ], então sec(α) ≥ 1

Antes note que se α ∈ [0; π/2], então o arco α é do 1º quadrante, local em que o máximo que cosseno atinge é o valor "+1", que é no arco de 0º.
Vamos impor, então que sec(α) seja maior ou igual a "1".
Como sec(α) = 1/cos(α), teremos:

1/cos(α) ≥ 1 ---- multiplicando-se em cruz, teremos:
1 ≥ 1*cos(α) ---- ou apenas:
1 ≥ cos(α) ---- se invertermos, note que teremos isto:
cos(α) ≤ 1 ---- como o cos(α), no 1º quadrante, poderá ser, no máximo, igual a "1", então a sentença acima é verdadeira, pois ela está afirmando que cos(α) poderá ser menor ou igual a "1". Se não for menor será igual. Então, só por isso, a sentença do item "b" é VERDADEIRA.

c) Existe um número real α ∈ [ 0, 2π ] tal que cotg(α) = 3 e cossec(α) = 3.

Veja que cotg(α) = cos(a)/sen(α) e cossec(α) = 1/sen(α)
Então vamos impor isto:

cossec(α) = 3 ---- como cossec(α) = 1/sen(α), teremos:
1/sen(α) = 3 ---- multiplicando-se em cruz, teremos:
1 = 3*sen(α)
1 = 3sen(α) --- ou, invertendo-se:
3sen(α)= 1
sen(α) = 1/3      . (I)

Agora é que vem a causa da edição da minha resposta. Em vez de fazer como fiz inicialmente, vamos encontrar o cosseno aplicando a primeira relação fundamental da trigonometria, segundo a qual tem-se:

sen²(α) + cos²(α) = 1 ----- como já vimos que sen(α) = 1/3, teremos:
(1/3)² + cos²(α) = 1
1/9 + cos²(α) = 1
cos²(α) = 1 - 1/9 ---- note que "1-1/9 = 8/9". Assim:
cos²(α) = 8/9
cos(α) = ± √(8/9) --- ou, o que é a mesma coisa:
cos(α) = ± √(8) / √(9) ----- como √(9) = 3, teremos:
cos(α) = ± √(8) / 3

Então se cos(α) = ± √(8) / 3 , vamos para a 2ª igualdade, que era isto:

cotg(α) = 3 ---- como já vimos que cos(α) poderá ser igual a "-√(8) / 3" ou "√(8) / 3", teremos para cotg(α) = cos(α)/sen(α). Assim:

- Considerando o cosseno como "-√(8) / 3", teremos para cotg(α):

cotg(α) = cos(α)/sen(α) ---- substituindo-se cos(α) por "-√(8) / 3" e sen(α) por "1/3", teremos:

cotg(α) = [-√(8) / 3] / (1/3)
cotg(α) = [- √(8) / 3]*(3/1
cotg(α) = -3*√(8) / 3*1 --- simplificando-se tudo por "3", teremos:
cotg(α) = - √(8) <-- Este seria o valor de cotg(α) para cos(α) = -√(8) / 3.

- Agora vamos considerar cos(α) = √(8) / 3 . Assim, teremos:

cotg(α) = cos(α)/sen(α) ---- fazendo as devidas substituições, temos:
cotg(α) = [√(8) / 3] / (1/3) --- ou:
cotg(α) = [√(8) / 3) * (3/1) --- efetuando este produto, temos:
cotg(α) = 3*√(8) / 3*1 ---- simplificando-se tudo por "3", ficaremos com:
cotg(α) = √(8)

Assim, como vimos, cotg(α) nunca será igual a "3", quando sen(α) = 1/3.
Logo, a sentença do item "c" também é FALSA.

d ) Cotg (7π / 8) * Sec(7π / 8) > 0 ---- note que π = 180º. Logo:

cotg(7*180º/8)*sec(7*180º/8) > 0
cotg(1.260º/8)*sec(1.260º/8) > 0
cotg(157,5º)*sec(157,5º) > 0

como cotg(x) = cos(x)/sen(x) e sec(x) = 1/cos(x), teremos:

cos(157,5º)/sen(157,5º) * 1/cos(157,5º) > 0 --- efetuando o produto indicado:
cos(157,5º)*1 / sen(157,5º)*cos(157,5º) > 0 -- ou apenas:
cos(157,5º) / sen(157,5º)*cos(157,5º) > 0 ---- simplificando-se tudo por cos(157,5º), ficaremos apenas com:

1 / sen(157,5º) > 0

Veja: como sen(157,5º) é um número positivo, que está entre "0" e "1", pois sen(157,5º) = 0,38268 (aproximadamente), teremos:

1 / 0,38268 > 0 ---- como 1/0,38268 = 2,61315 (aproximadamente), temos:
2,61315 > 0 --- o que é verdade.

Logo, a sentença do item "d" é VERDADEIRA.

Assim, como você viu, as únicas sentenças FALSAS são as sentenças dos itens "a" e "c",  salvo melhor juízo.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.