Question

Classifique como verdadeira ou falsa as seguintes afirmações, considerando que a e b são naturais quaisquer:
a) (a+b)! = a! + b!
b) (a-b)! = a! - b! 
c) (2a)! = a! . b!
d) (a!)^2 = a! . b!
e) (a.b)! = a! . b!
f) a! é um número par se a ≥ 2

Justifiquem cada uma pra mim entender....

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Carlos, que a resolução passa a ser simples, se após cada sentença proposta, para que marquemos se é verdadeira ou falsa, dermos exemplos numéricos para isso.
Então vamos tomar cada sentença proposta e vamos dizer se é verdadeira ou falsa e, para isso, daremos exemplos para mostrar a veracidade ou não,, ok?
Vamos ver.

a) (a+b)! = a! + b!
Resposta: sentença FALSA.
Veja: vamos arbitrar que a = 3 e b = 2. Então teríamos:

(2+3)! = 3! + 2!
(5)! = 3! + 2!
5*4*3*2*1 =  3*2*1 + 2*1
120 = 6 + 2
120 = 8 <---- Veja aí o absurdo.
Então é por isso que a sentença é FALSA.

b) (a-b)! = a! - b!
Resposta: sentença FALSA.
Veja: vamos dar o mesmo exemplo da questão anterior: a = 3 e b = 2. Assim:

(3-2)! = 3! - 2!
(1)! = 3! - 2!
1 = 3*2*1 - 2*1
1 = 6 - 2
1 = 4 <--- Veja aí o absurdo.
É por isso que a sentença é FALSA.

c) (2a)! = 2 - a
Resposta: sentença FALSA.
Fazendo a = 3, como nos exemplos anteriores, teremos:

(2*3)! = 2 - 3!
(6)! = 2 - 3*2*1
6.5.4.3.2.1 = 2 - 6
720 = - 4 <--- Olha aí o absurdo.
Por isso esta sentença é FALSA.

d) (a!)² = a! . a!
Resposta: sentença VERDADEIRA.
Veja: fazendo a = 3, como nas questões anteriores, teremos:

(3!)² = 3! . 3!
(3.2.1)² = 3.2.1 . 3.2.1.
(6)² = 6 . 6
36 = 36 <---- Perfeito.
Por isso esta sentença é VERDADEIRA.

e) (a.b)! = a! . b!
Resposta: sentença FALSA.
Veja, fazendo a = 3 e b = 2, como nas questões anteriores, teremos:

(3.2)! = 3! . 2!
(6)! = 3! . 2!
6.5.4.3.2.1 = 3.2.1 . 2.1
720 = 6 . 2
720 = 12 <--- Olha aí o absurdo.
Por isso, esta sentença é FALSA.

f) a! é um número par se a ≥ 2.
Resposta: sentença VERDADEIRA.

Antes veja que: 0! = 1 e 1! = 1.
Mas a partir de "2", os resultados são SEMPRE pares, por exemplo:

2! = 2.1 = 2;
3! = 3.2.1 = 6;
4! = 4.3.2.1 = 24
5! = 5.4.3.2.1 = 120
6! = 6.5.4.3.2.1 = 720
E assim sucessivamente, mostrando que se a ≥ 2, os resultados dos fatoriais serão SEMPRE pares.

Por isso esta sentença é VERDADEIRA.

Assim, como você viu, as únicas sentenças VERDADEIRAS são as propostas nas letras "d" e "f". Todas as demais sentenças são FALSAS.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.