Question

classifique as retas r e s conforme as suas posições relativas:
a)(r)x-5y+3=0 (s)5x+y-1=0
b)(r)4x-2=0 (s)-4y+1=0
c)(r)5x+2y+1=0 (s)2x+5y+4=0
d)(r)x/3 + y/5=1 (s)x/5 = 0

Answer 1

Após a realização dos cálculos, podemos concluir que a posição relativa das retas são:

a) paralelas

b) perpendiculares

c) concorrentes

d) perpendiculares

Posição relativa de duas retas

Dada duas retas $\sf r: y=m_1x+n_1$ e $\sf s: y=m_2x+n_2$

deseja-se saber se estas retas são paralelas ,coincidentes , concorrentes ou perpendiculares. Para isso  fazemos as seguintes considerações:

• se $\sf m_1=m_2$ e $\sf n_1\ne n_2$ então r e s são coincidentes
• se $\sf m_1=m_2$ e $\sf n_1=n_2$  então r e s são paralelas
• se $\sf m_1\ne m_2$ então r e s são concorrentes

• se $\sf m_1\cdot m_2=-1$ então r e s são perpendiculares

nota: há casos de retas paralelas aos eixos coordenados  neste caso se as retas tiverem um ponto de intersecção então também serão perpendiculares

Vamos a resolução do exercício

Em cada item vamos fazer a comparação entre o coeficiente angular e o coeficiente linear  de cada reta para dizer sua posição relativa.

a)

$\large\boxed{\begin{array}{l}\sf r: x-5y+3=0\implies y=\dfrac{1}{5}x+\dfrac{3}{5}\begin{cases}\sf m_1=\dfrac{1}{5}~~n_1=\dfrac{3}{5}\end{cases}\\\sf s: 5x+y-1=0\implies y=-5x+1\begin{cases}\sf m_2=-5~~n_2=1\end{cases}\\\sf m_1\cdot m_2=\dfrac{1}{\backslash\!\!\!\!5}\cdot -\backslash\!\!\!\!5=-1\end{array}}$

r e s são perpendiculares

b) Aqui temos retas paralelas aos eixos coordenados.

$\large\boxed{\begin{array}{l}\sf r:4x-2=0\\\sf 4x=2\\\sf x=\dfrac{2\div2}{4\div2}\\\\\sf x=\dfrac{1}{2}\\\\\sf s: -4y+1=0\\\sf 4y=1\\\sf y=\dfrac{1}{4}\end{array}}$

As retas se cruzam no ponto cujas coordenadas são $\sf A\bigg(\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{4}\bigg)$ portanto r e s são perpendiculares

c)

$\large\boxed{\begin{array}{l}\sf r: 5x+2y+1=0\implies y=-\dfrac{5}{2}x-\dfrac{1}{2}\begin{cases}\sf m_1=-\dfrac{5}{2}~~n_1=-\dfrac{1}{2}\end{cases}\\\sf s: 2x+5y+4=0\implies y=-\dfrac{2}{5}x-\dfrac{4}{5}\begin{cases}\sf m_2=-\dfrac{2}{5}~~n_2=-\dfrac{4}{5}\end{cases}\\\sf m_1\ne m_2\end{array}}$

r e s são concorrentes

d)

$\large\boxed{\begin{array}{l}\sf r:\dfrac{x}{3}+\dfrac{y}{5}=1\cdot(15)\\\\\sf 5x+3y=15\implies y=-\dfrac{5}{3}x+5\begin{cases}\sf m_1=-\dfrac{5}{3}~~n_1=5\end{cases}\\\sf s: \dfrac{x}{5}=\dfrac{y}{3}\\\sf 5y=3x\\\sf y=\dfrac{3}{5}x+0\begin{cases}\sf m_2=\dfrac{3}{5}~~n_2=0\end{cases}\\\sf m_1\cdot m_2=-\dfrac{\diagup\!\!\!5}{\backslash\!\!\!\!3}\cdot\dfrac{\backslash\!\!\!\!3}{\diagup\!\!\!5}\\\\\sf m_1\cdot m_2=-1\end{array}}$

r e s são perpendiculares

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