Question

Classifique a quádrica central xy + xz + yz =
1/2?
.

Answer 1

Uma quádrica tem a seguinte forma:

$ax^2+by^2+cz^2+dxy+exz+fyz+gx+gy+kz+p=0$

Primeiramente, vamos montar a seguinte matriz:

$A = \left[\begin{array}{ccc}a& \frac{d}{2} & \frac{e}{2} \\ \frac{d}{2} &b& \frac{f}{2} \\ \frac{e}{2} & \frac{f}{2} &c\end{array}\right]$

De $xy+xz+yz= \frac{1}{2}$ temos que:

a = 0, b = 0, c = 0, d = 1, e = 1, f = 1.

Portanto, 

$A= \left[\begin{array}{ccc}0& \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} &0& \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} &0\end{array}\right]$

Precisamos calcular o polinômio característico, ou seja, 

p(α) = det(λI3 - A)

sendo I3 a matriz identidade de ordem 3.

Então, 

$p( \alpha ) = det \left[\begin{array}{ccc} \alpha &- \frac{1}{2} &- \frac{1}{2} \\-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}& \alpha \\-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}&\alpha\end{array}\right]$

$p( \alpha ) = \alpha ^3 - \frac{3 \alpha }{4} - \frac{1}{4}$

As raízes desse polinômio característico são:

$\alpha _1 = 1$ e $\alpha _2 = - \frac{1}{2}$

e são autovalores de A.

Daí, temos que substituir cada autovalor na matriz p(α) para encontramos os autovetores, e depois escalonar a matriz para achar os valores de x, y e z:

$a_1 = 1$

Com esse valor, encontraremos que x = y = z.

Então, um autovetor será: $v_1 = (z,z,z) = z(1,1,1)$

ou seja, 

$v_1 = (1,1,1)$

$\alpha _2 = -\frac{1}{2}$

Com esse valor encontraremos x = -y -z

Então, temos dois autovetores: (-y-z,y,z) = y(-1,1,0) + z(-1,0,1)

$v_2=(-1,1,0)$ e $v_3=(-1,0,1)$

Com isso, vamos montar a matriz P com os autovetores e uma matriz D com os autovalores

$P = \left[\begin{array}{ccc}1&-1&-1\\1&1&0\\1&0&1\end{array}\right]$

$D = \left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&-\frac{1}{2}&0\\0&0&-\frac{1}{2}\end{array}\right]$

A quádrica na foma matricial será igual a:

$\left[\begin{array}{ccc}x_1&y_1&z_1\end{array}\right] .D. \left[\begin{array}{ccc}x_1\\y_1\\z_1\end{array}\right] + \left[\begin{array}{ccc}g&h&k\end{array}\right].P. \left[\begin{array}{ccc}x_1\\y_1\\z_1\end{array}\right] =$

Como g = h = k = 0, então, temos que:

$\left[\begin{array}{ccc}x_1&y_1&z_1\end{array}\right]. \left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&-\frac{1}{2}&0\\0&0&-\frac{1}{2}\end{array}\right] . \left[\begin{array}{ccc}x_1\\y_1\\z_1\end{array}\right] = \frac{1}{2}$

Multiplicando:

$x_1^2- \frac{y_1^2}{2} - \frac{z_1^2}{2} = \frac{1}{2}$
$\frac{x_1^2}{\frac{1}{2}} - y_1^2 - z_1^2 = 1$

ou seja, a quádrica central é um Hiperboloide de Duas Folhas.

Answer 2

Boa noite 

Classifique a quádrica central xy + xz + yz = 1/2

essa figura é chamada de hiperboloide de duas camadas