Question

Clarice possui uma mesa circular de raio R e pretende colocar um vaso de flores sobre ela para enfeitar o ambiente. A base do vaso deve ter a forma de um triângulo equilátero de lado L. Para ter certeza de que o vaso estará seguro, sem risco de cair, Clarice deseja que toda a base do vaso esteja apoiada em cima da mesa. A maior medida do lado do triângulo que satisfaz as necessidades de Clarice é

Answer 1

Malandrodorole4536,

Para que as condições impostas por Clarice, a base do vaso, que é um triângulo equilátero, deverá ter os seus três vértices coincidindo com a linha externa da mesa, que é uma circunferência.

Então, o triângulo deverá estar inscrito na circunferência.

Assim, precisamos obter o lado de um triângulo equilátero inscrito em uma circunferência (L), a partir do raio dessa circunferência (R).

Ora, a medida do lado, em função do raio será igual a:

L = R√3

R.: A maior medida do lado do triângulo será R√3.

Answer 2

Bom, vamos primeiro considerar que o triângulo está inscrito na circunferência, ou seja, todos os seus vértices se encontram tangentes à circunferência, o que nos leva a conclusão de que ambas as figuras possuem o mesmo centro.

O raio de TODA circunferência circunscrita à um triângulo equilátero é 2/3 de sua altura ($R=\frac{2}{3} h$).

Assim, achamos primeiro a altura do triângulo equilátero ($h=L\frac{\sqrt{3} }{2}$)

Substituímos na formula do raio, tendo assim, o valor para o lado que satisfará a conta.

$h=L\frac{\sqrt{3} }{2}      e      R= \frac{2}{3} h$

$R=\frac{2}{3} .l\frac{\sqrt{3} }{2}$ // cancela o dois nas duas operações;

$R=\frac{L\sqrt{3} }{3}$ //precisamos agora isolar o L (já que é o lado é o objetivo);

$L=\frac{3R}{\sqrt{3} }$ // basta racionalizar (tirar a raiz do denominador);

$L=\frac{3R}{\sqrt{3} } . \frac{\sqrt{3} }{\sqrt{3} }$ //multiplicando pela raiz em cima e em baixo;

$L=\frac{3R\sqrt{3} }{{3} }$ // agora é só cancelar o 3 que multiplica com o que divide;

$L={R\sqrt{3}$ // assim fica o resultado;

Espero ter ajudado =]