Question

Cirilo mora na cidade de Santalândia. As distâncias de Santalândia para a cidade de Valume, de Santalândia para a cidade de Ararás, e de Valume para Ararás são, respectivamente, 3x, 3x e 2x. As três cidades formam um triângulo de semiperímetro igual a 8 km. O cosseno do ângulo criado quando Cirilo olha para Valume e depois Ararás é: a)7/9 b)8/5 c)5/6 d)9/8 e)7/8

Answer 1

Resposta:

Letra A

Explicação passo-a-passo:

Como o semi perímetro é 8, da pra calcular a área usando a fórmula de Heron, que diz que:

A = √P. (P-a) (P-b) (P-c)

onde A: área do triângulo

P: semi perímetro do triângulo

a, b e c: são os lados do triângulo.

Bom, como o semi perímetro é metade do perímetro, então o perímetro é 16.

Como o perímetro é a soma dos lados do triângulo, então 3x + 3x + 2x = 16 <> x = 2

Como os lados são 3x, 3x e 2x, os lados valem, respectivamente, 6, 6 e 4.

Voltando à fórmula de Heron, vamos trocas as variáveis:

√8. (8-6) (8-6) (8-4)

√128

8√2

assim a gente chega que a área do triângulo é 8√2.

Agora, nós podemos calcular o sen desse triângulo, usando uma propriedade que diz que:

A = b.c.sen(x)/2

Onde A: área

b e c: catetos adjacentes ao ângulo x

x: ângulo oposto ao lado a do triângulo.

Substituindo as variáveis a gente tem:

8√2 = 6.6.sen(x)/2

Sen(x)/2 = 8√2/36

Sen(x) = 4√2/9

Da relação fundamental da trigonometria, nós temos que:

Sen²x + Cos²x = 1

ou seja:

(4√2/9)² + Cos²x = 1

Cos²x = 1 - 32/81

Cos²x = 49/81

Cos(x) = ±√49/81

Cos(x) = ±7/9

Como nas respostas só tem valores positivos, então nós só vamos considerar o valor positivo.

Resposta final:

Cos(x) = 7/9

Letra A

Espero ter ajudado