Question

Cinco termos estão em P.A. crescente. Sabendo que o último termo dessa progressão é 31, e que a soma deles é 105, quais os valores do primeiro termo e da razão, respectivamente?​

Answer 1

Os valores são:

$\Large \text {a_{1} = 11 }$  e

$\Large \text {r = 5 }$$\Large r = 5$

Vamos lembrar o que é uma PA, como construí-la e a formula da Soma.

PA ou Progressão Aritmética, é uma sequencia de números onde, cada um, a partir do segundo, equivale a soma do anterior com uma constante = r que chamamos de razão.

$\Large PA \implies a_{n} = a_{1}+ (n-1).r$       com r = razão

$\LARGE \text { Soma =S_{n} = \frac{n.(a_{1} + a_{n})}{2} }$      com Sn = Soma dos termos

   

Utilizando a fórmula da Soma de uma PA, temos que :

$\Large n = 5$

$\Large a_{n} = 31$

$\Large S_{n} = 105$

Então:

$\Large \text { 105 = \frac{5.(a_{1} + 31)}{2} }$

$\Large 105.2 = 5.a_{1} + 155$

$\Large 210 = 5a_{1} + 155$

$\Large 5a_{1} = 210 - 155$

$\Large 5a_{1} = 55$

$\Large \text {a_{1} = \frac{55}{5} \implies \boxed{ a_{1} = 11} }$

Agora ficou fácil, utilizando a fórmula da PA:

$\Large a_{n} = a_{1}+ (n-1).r$

31 = 11 + 4r

4r = 31 - 11

4r = 20

$\Large r = \frac{20}{4} \implies \boxed{r = 5}$

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