Question

Cinco semi retas OA, OB, OC e OD e OE formam nesta ordem, cinco ângulos adjacentes. Determine esses ângulos sabendo que os quatro primeiros são proporcionais a 1,2,3,4 e que OD é o prolongamento da bissetriz do ângulo AÔB e OX é a bissetriz do ângulo AÔB.

Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

Answer 2

As medidas desses ângulos são $\frac{360}{11},\frac{720}{11},\frac{1080}{11},\frac{1440}{11},\frac{360}{11}$.

Considere que:

AOB = a

BOC = b

COD = c

DOE = d

EOA = e.

De acordo com as proporções dadas no enunciado, temos que:

$a=\frac{b}{2}=\frac{c}{3}=\frac{d}{4}$.

Ou seja, b = 2a, c = 3a e d = 4a.

Note que a soma dos cinco ângulos citados é igual a 360º. Logo:

a + b + c + d + e = 360

a + 2a + 3a + 4a + e = 360

10a + e = 360.

Se OX é a bissetriz do ângulo AOB, então AOX = XOB = $\frac{a}{2}$. Além disso, os ângulos XOB, BOC e COD formam um ângulo de 180º, porque OD é o prolongamento de OX. Assim:

$\frac{a}{2}$ + b + c = 180

a + 2b + 2c = 360

a + 2.2a + 2.3a = 360

a + 4a + 6a = 360

11a = 360

$a = \frac{360}{11}$.

Portanto, a medida dos outros ângulos são:

$b = 2.\frac{360}{11}=\frac{720}{11}$

$c = 3.\frac{360}{11}=\frac{1080}{11}$

$d=4.\frac{360}{11}=\frac{1440}{11}$

$e = 360 - 10.\frac{360}{11}=\frac{360}{11}$.