Question

Cientistas de um certo laboratório, preocupados com as possíveis ameaças de guerras biológicas entre países inimigos, pesquisaram uma determinada bactéria altamente nociva à saúde humana cresce segundo a expressão (imagem) onde t representa o tempo em horas. Para obter-se uma população bacteriana de 3125 bactérias, será necessário um tempo, em horas, com valor absoluto no intervalo:

Respostas:
a. ]0, 2]
b. ]2, 4]
c. ]8, 10]
d. ]4, 6]
e. ]6, 8]

Answer 1

Deseja-se saber o valor de t quando P(t) = 3125. Sendo assim

$\mathbf{{P(t)=\frac{256}{125} .(\frac{5}{2})^{t+1}} }$

$\mathbf{{3125=\frac{256}{125} .(\frac{5}{2})^{t+1}} }$

De acordo com a fatoração, temos

3125 = 5⁵

256 = 2⁸

125 = 5³

Aplicando no problema

$\mathbf{5^5=\frac{2^8}{5^3}.(\frac{5}{2})^{t+1}}$

Das propriedades da potencia, A³.A² = A³⁺², logo

$\mathbf{5^5=\frac{2^8}{5^3}.(\frac{5}{2})^t.(\frac{5}{2})^1}$

Aplicando algumas simplificacoes

$\mathbf{5^5=\frac{2^7}{5^2}.(\frac{5}{2})^t}$

Produto dos meios pelos extremos

$\mathbf{\frac{5^5.5^2}{2^7}=(\frac{5}{2})^t}$

Novamente propriedades da potencia, A³.A² = A³⁺²

$\mathbf{\frac{5^7}{2^7}=(\frac{5}{2})^t}$

com isso concluímos que

t = 7