Question

Ciências dos Materiais.

Calcule o raio de um átomo de vanádio, dado que possui uma estrutura cristalina CCC, uma densidade de 5,96 g/cm³ e um peso atômico de 50,9 g/mol.

Answer 1

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•    número de átomos em uma célula unitária na estrutura cristalina CCC (cúbica de corpo centrado):

     $\mathsf{n=2;}$


•    densidade:  $\mathsf{\rho=5,\!96~g/cm^3;}$

•    massa molar do vanádio:   $\mathsf{MM=50,\!9~g/mol;}$

•    constante de Avogadro:   $\mathsf{NA=6,\!02\cdot 10^{23};}$

•    massa de vanádio presente em uma célula unitária:   m;
 
•    parâmetro de rede:   a;

•    raio atômico:   r.


O volume de uma célula unitária é

     $\mathsf{V=a^3}$


Mas na estrutura CCC, temos que

     $\mathsf{a=\dfrac{4r}{\sqrt{3}}}$

Logo, a fórmula do volume fica:

     $\mathsf{V=\left(\dfrac{4r}{\sqrt{3}}\right)^3}\\\\\\\mathsf{V=\dfrac{64r^3}{3\sqrt{3}}}$


Pela fórmula da densidade, devemos ter

     $\mathsf{\rho=\dfrac{m}{V}}\\\\\\ \mathsf{m=\rho\cdot V}\\\\ \mathsf{m=5,\!96\cdot \dfrac{64r^3}{3\sqrt{3}}}$


Montando a proporção entre as massas:

     $\begin{array}{ccc} \mathsf{6,\!02\cdot 10^{23}}\textsf{~\'atomos}&\textsf{------}&\mathsf{50,\!9~g}\\\\ \mathsf{2}\textsf{~\'atomos}&\textsf{------}&\mathsf{m} \end{array}\\\\\\\\ \mathsf{\dfrac{6,\!02\cdot 10^{23}}{2}=\dfrac{50,\!9}{m}}\\\\\\ \mathsf{6,\!02\cdot 10^{23}\cdot m=2\cdot 50,\!9}$

     $\mathsf{6,\!02\cdot 10^{23}\cdot 5,\!96\cdot \dfrac{64r^3}{3\sqrt{3}}=2\cdot 50,\!9}\\\\\\ \mathsf{r^3=\dfrac{2\cdot 50,\!9\cdot 3\sqrt{3}}{6,\!02\cdot 10^{23}\cdot 5,\¨96\cdot 64}}$

     $\mathsf{r^3=2,\!30\cdot 10^{-24}}\\\\ \mathsf{r=\,^3\!\!\!\!\sqrt{2,\!30\cdot 10^{-24}}}$

     $\mathsf{r^3=\dfrac{2\cdot 50,\!9\cdot 3\sqrt{3}}{6,\!02\cdot 10^{23}\cdot 5,\!96\cdot 64}}\\\\\\ \mathsf{r^3=2,\!30\cdot 10^{-24}}\\\\ \mathsf{r=\,^3\!\!\!\!\sqrt{2,\!30\cdot 10^{-24}}}$

     $\mathsf{r=1,\!32\cdot 10^{-8}~cm}\\\\ \mathsf{r=1,\!32\cdot 10^{-1-7}~cm}\\\\ \mathsf{r=1,\!32\cdot 10^{-1}\cdot 10^{-7}~cm}\\\\ \mathsf{r=0,\!132\cdot 10^{-7}~cm}\\\\\\ \mathsf{r=0,\!132~nm}\quad\longleftarrow\quad\textsf{esta \'e a resposta.}$


Bons estudos! :-)