Cheguei a uma resposta mas não tenho o gabarito da questão, alguem poderia me ajudar? Assunto: derivada
Sendo f(x) = e^(x²+3x) * ln(1+x²), determine f '(x):
OBS: (x²+3x) é a potencia de "e", "ln" está multiplicando "e".
Soluções para a tarefa
Vamos lá.
Veja, Cefovi, como explicamos antes nos comentários de uma outra questão, vamos aplicar a regra de derivada de um produto de forma bem resumida e vamos tentar dar a nossa resposta.
i) Pede-se para encontrar a derivada da seguinte expressão:
f(x) = [e⁽ˣ²⁺³ˣ⁾] * [ln(1+x²)]
ii) Agora vamos por parte. A derivada do produto y = u.v é dada da seguinte forma:
y' = u'.v + u.v'
No caso da sua questão teremos que:
u = e⁽ˣ²⁺³ˣ⁾ ---> e u' = e⁽ˣ²⁺³ˣ⁾ . (2x+3)
v = ln(1+x²) ---> e v' = 2x/(1+x²)
Agora vamos aplicar a derivada seguindo a regra do produto, segundo o qual teremos que:
f'(x) = u'.v + u.v' ----- como já sabemos quem é u e quem é u' e quem é v e quem é v' , então vamos fazer as devidas substituições. Assim teremos:
f'(x) = [e⁽ˣ²⁺³ˣ⁾ . (2x+3) . ln(1+x²)] + [e⁽ˣ²⁺³ˣ⁾ . 2x/(1+x²)]
Na expressão acima, vamos colocar e⁽ˣ²⁺³ˣ⁾ em evidência, pois ele é fator comum aos dois membros da soma acima. Então vamos ficar assim:
f'(x) = e⁽ˣ²⁺³ˣ⁾ . {[1 . (2x+3) . ln(1+x²)] + [1 . 2x/(1+x²)} ---- "arrumando", ficamos:
f'(x) = e⁽ˣ²⁺³ˣ⁾ . {(2x+3) . ln(1+x²) + 2x/(1+x²)} <--- esta deverá ser a resposta. Ou seja, esta deverá ser a derivada da expressão original, quando aplicamos a regra da derivada de um produto da forma: u.v = u'.v + u.v' .
Não sei se você também teria chegado a um resultado bem parecido com o que chegamos aí em cima. Às vezes muda alguma coisa mas só na "arrumação", ficando o principal a mesma coisa.
OK?
Adjemir.