Chaves pegou um tabuleiro e começou a escrever os números naturais positivos em suas
casas seguindo uma sequência lógica, conforme a figura.
a) Qual a linha do número 2.019?
b) Se o tabuleiro for 10x10, ou seja, for até o número 100 apenas, qual a soma dos núme-
ros da 1a
linha?
c) Se o tabuleiro for n x n, qual o último número da diagonal (1, 3, 7, 13,...)?
PFV ME AJUDA AMANHA E A MINHA PROVA DE OBEMEP
Soluções para a tarefa
Utilizando lógica de montagem de questões, temos que:
a) 7ª linha.
b) 335.
c) n² - (n-1).
Explicação passo-a-passo:
Ecnontrei a imagem na internet, então vamos as resoluções:
a) Qual a linha do número 2.019?
Note que esta tabela termina colunas em quadrados impares e linhas em quadrados pares.
Assim o maior quadrado menor que 2019 é 44, que é 1936, logo, ele parte da linha 45 em 1937, enesta linha tem 45 número, terminado isso ele começa a subir as linhas voamente, então somando mais 45 em 1936 temos 1981, e este é o ultimo número da linha 45 e a partir deste momento ele só começa a subir.
A diferença entre 1981 e 2019 é de 38, ou seja, ele vai subir 38 linhas, assim se ele estava na linha 45 e subiu 38, então ele parou na linha 7.
Assim 2019 esta na linha 7.
b) Se o tabuleiro for 10x10, ou seja, for até o número 100 apenas, qual a soma dos números da 1a linha?
Note que a primeira linha é compostas por quadrados impares mais o seu e o seus sucessores.
Se esta tabela tiver 10x10, então o ultimo quadrado impar será 9² = 81, logo o ultimo da da casa da primeira linha será 82.
Assim somando todos das primeira linha temos:
1² + 1² + 1 + 3³ + 3² + 1 + 5² + 5² + 1 + 7² + 7² + 1 + 9² + 9² + 1
5 + 2.(1²+3²+5²+7²+9²)
5 + 2.(1+9+25+49+81)
5 + 2.(10+25+130)
5 + 2.165
5 + 330
335
Assim a soma da primeira linha é 335.
c) Se o tabuleiro for n x n, qual o último número da diagonal (1, 3, 7, 13,...)?
Note que se cada linha coluna é referente ao quadrado no final desta, então cada ponto da diagonal é o próprio quadrado menos a quantidade não quadrada da linha anterior, ou seja, cada diagonal n é dada por:
n² - (n-1)
Podemos até testar:
1² - (1-1) = 1
2² - (2-1) = 3
3³ - (3-1) = 7
4² - (4-1) = 13
Assim o ultimo diagonal seria: n² - (n-1)
