Question

Chama-se ângulo de dois planos a e ß o menor ângulo que um vetor normal a
a forma com um vetor normal a ß.
Nesse contexto, calcule o ângulo entre os planos:
a: 2x + y-Z + 3 = 0
B: x + y - 4 = 0
ALTERNATIVAS
o ângulo formado entre os planos é 15°.
o ângulo formado entre os planos é 30°.
o ângulo formado entre os planos é 45°.
o ângulo formado entre os planos é 60°.
o ângulo formado entre os planos é 75°.​

Answer 1

O ângulo formado entre os planos é 30º.

Para calcularmos o ângulo entre dois vetores utilizaremos a seguinte fórmula:  $cos(\theta)=\frac{<u,v>}{||u||||v||}$.

O vetor normal do plano a: 2x + y - z + 3 = 0 é u = (2,1,-1).

Já o vetor normal do plano b: x + y - 4 = 0 é v = (1,1,0).

Calculando o produto interno entre u e v, obtemos:

<u,v> = 2.1 + 1.1 + (-1).0

<u,v> = 2 + 1 + 0

<u,v> = 3.

Calculando a norma do vetor u:

||u||² = 2² + 1² + (-1)²

||u||² = 4 + 1 + 1

||u||² = 6

||u|| = √6.

Calculando a norma do vetor v:

||v||² = 1² + 1² + 0²

||v||² = 1 + 1 + 0

||v||² = 2

||v|| = √2.

Agora, basta substituir essas informações na fórmula descrita inicialmente:

cos(θ) = 3/√6√2

cos(θ) = 3/2√3

cos(θ) = 6√3/12

cos(θ) = √3/2

θ = 30º.