Question

(CESUPA) Uma parábola P2 tem as mesmas raízes que a parábola P1 e seu vértice é simétrico, em relação ao eixo Ox, ao ponto mínimo de P1. A equação da parábola P2 é:
Dados para P1: V(1,-2), a>0 e raízes x=-1 e x=3

Answer 1

Raízes de P₂: - 1 e 3

Logo, existem os pontos (-1,0) e (3,0) na parábola P₂
_________________________

Se o vértice de P₂ é simétrico, em relação ao eixo x, ao ponto mínimo de P₁, o vértice de P₂ é (1,2).
_________________________

Temos 3 pontos:

(-1,0), (3,0), (1,2)

Equação de P₂:

$y = ax^{2}+bx+c$

Substituindo (-1,0) na equação:

$0 = a*(-1)^{2}+b*(-1)+c\\a-b+c=0$


Substituindo (3,0) na equação:

$0 = a*3^{2}+b*3+c\\9a+3b+c=0$

Se a - b + c = 0 e 9a + 3b + c = 0, a - b + c = 9a + 3b + c

$a-b+c=9a+3b+c\\a-b=9a+3b\\0=9a-a+3b+b\\8a+4b=0\\4(2a+b)=0\\2a+b=0\\b=-2a$

Substituindo (1,2) na equação:

$2=a*1^{2}+b*1+c\\a+b+c=2$
___________________________

$a-b+c=0$

Isolando c:

$c=b-a\\c=-2a-a\\c=-3a$

$a+b+c=2\\a+(-2a)+(-3a)=2\\a-2a-3a=2\\-4a=2\\a=-2/4\\a=-1/2$

$b=-2a\\b=-2(-1/2)\\b=1$

$c=-3a\\c=-3(-1/2)\\c=3/2$
___________________________

$y = ax^{2}+bx+c\\y=(-1/2)*x^{2}+x+(3/2)$