Question

(Cesgranrio) Se S3 = 0 e S4 = -6 são,
respectivamente, as somas dos três e quatro
primeiros termos de uma progressão aritmética, então
a soma S5 dos cinco primeiros termos vale:
a) - 6.
b) - 9.
c) - 12.
d) - 15.
e) - 18.

RESPOSTA: D

How?

Answer 1

 Olá Luisa!!

 De acordo com o enunciado, temos o seguinte sistema:

$\begin{cases} \mathsf{a_1 + a_2 + a_3 = 0 \qquad \qquad \qquad (i)} \\ \mathsf{a_1 + a_2 + a_3 + a_4 = - 6 \qquad \quad (ii)}\end{cases}$

 Substituindo (i) em (ii), teremos:

$\\ \mathsf{\underbrace{\mathsf{a_1 + a_2 + a_3}}_{zero} + a_4 = - 6} \\\\ \mathsf{0 + a_4 = - 6} \\\\ \mathsf{a_4 = - 6} \\\\ \mathsf{\boxed{\mathsf{a_1 + 3r = - 6}} \qquad \qquad (iii)}$   

 Da equação (i),

$\\ \mathsf{a_1 + a_2 + a_3 = 0} \\\\ \mathsf{a_1 + (a_1 + r) + (a_1 + 2r) = 0} \\\\ \mathsf{3 \cdot a_1 + 3 \cdot r = 0} \\\\ \mathsf{3 \cdot (a_1 + r) = 0} \\\\ \boxed{\mathsf{a_1 + r = 0}} \ \qquad \qquad \mathsf{(iv)}$

 Substituindo (iv) em (iii),

$\\ \mathsf{a_1 + 3r = - 6} \\\\ \mathsf{(a_1 + r) + 2r = - 6} \\\\ \mathsf{0 + 2r = - 6} \\\\ \mathsf{2r = - 6} \\\\ \boxed{\mathsf{r = - 3}}$

 Com efeito,

$\\ \mathsf{a_1 + r = 0} \\\\ \mathsf{a_1 + (- 3) = 0} \\\\ \boxed{\mathsf{a_1 = 3}}$

 Logo,

$\\ \mathsf{S_5 = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5} \\\\ \mathsf{S_5 = S_4 + a_5} \\\\ \mathsf{S_5 = (- 6) + (a_1 + 4r)} \\\\ \mathsf{S_5 = - 6 + 3 + 4 \cdot (- 3)} \\\\ \mathsf{S_5 = - 3 - 12} \\\\ \boxed{\boxed{\mathsf{S_5 = - 15}}}$