Question

(CESGRANRIO RJ) o numero complexo (√3/2 - i/2)^6 equivale a

Answer 1

Boa tarde!

Para trabalhar com potências de números complexos fica mais fácil trabalhar com os números em sua forma polar (ou trigonométrica).
Transformando:
$\rho=\sqrt{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2+\left(-\frac{1}{2}\right)^2}\\\rho=\sqrt{\frac{3}{4}+\frac{1}{4}}=1\\\theta=\atan{\frac{-\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}}\\\theta=330^{\circ}$

Então:
$\left(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{i}{2}\right)^6=\left(\cos{330^{\circ}}+i\sin{330^{\circ}\right)^6=\cos{6\cdot 330}+i\sin{6\cdot 330}=\cos{1980}+i\sin{1980}=\cos{180}+i\sin{180}=-1$

Espero ter ajudado!

Answer 2

O número complexo equivale a -1.

Números complexos

Os número complexos são formados por duas partes: parte real e parte imaginária. E podem ser representados de duas formas distintas:

• geométrica
• polar (ou trigonométrica)

A forma geométrica é escrita da seguinte forma:

z = a+bi

Já a forma polar é escrita da seguinte forma:

z = |z|.(cosθ + isenθ)

Onde:

• |z| é o módulo de z
• θ é o argumento de z

Para trabalhar com potência de números complexo, é mais simples trabalhar na forma trigonométrica, pois:

$z^n = |z|^n(cos(n.\theta) + i.sen(n.\theta))$

Então, como z = √3/2-i/2, devemos passar para a forma polar:

|z| = √(√3/2)^2 + (-1/2)^2) = √(3/4+1/4) = √(4/4)

|z| = 1

θ = arctan(b/a) = arctan(-1/2/√3/2) = arctan(-√3/3)

θ = -30°

Então:

z = cos(-30) + isen(-30)

Então $z^6 = (\sqrt{3}/2 - i/2)^6$:

$z^6 = 1^6.(cos(6.-30)+isen(6.-30)) = cos(-180)+isen(-180)\\z^6 = -1$

Para entender mais sobre números complexos, acesse o link:

https://brainly.com.br/tarefa/51300378

Espero ter ajudado!

Bons estudos!

#SPJ2