(Cesgranrio-RJ) O coeficiente de x^4 no polinômio P (x) = (x + 2)^6 é:
a) 64
b) 60
c) 12
d) 4
e) 24
Soluções para a tarefa
Resposta:
letra c
letra c
letra c
Explicação passo-a-passo:
letra c
letra c
Resposta:
Olá.
Temos a expressão: (x + 2)⁶
Para resolver a expressão, usarei uma propriedade de produtos notáveis e uma de potência: “cubo da soma de dois termos” e “produto de potências de mesma base”, que apresento abaixo.
Produto notável:
\mathsf{(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3}(a+b)
3
=a
3
+3a
2
b+3ab
2
+b
3
Potência:
\mathsf{(x+y)^{rs}=(x+y)^r\cdot(x+y)^s}(x+y)
rs
=(x+y)
r
⋅(x+y)
s
Serão divididos os expoentes para que sejam aplicados os produtos notáveis. Tendo feito isso, basta aplicar a distributiva entre os termos gerados. Como o produto notável será aplicado no mesmo binômio (x + 6), podemos calcular apenas uma vez e copiar do outros lado.
Vamos aos cálculos.
\begin{gathered}\mathsf{(x+2)^6=}\\\\\mathsf{(x+2)^3\cdot(x+2)^3=}\\\\\mathsf{(x^3+3\cdot x^2\cdot2+3\cdot x\cdot2^2+2^3)\cdot(x+2)^3=}\\\\\mathsf{(x^3+6x^2+3\cdot x\cdot4+8)\cdot(x+2)^3=}\\\\\mathsf{(x^3+6x^2+12x+8)\cdot(x+2)^3=}\\\\\mathsf{(x^3+6x^2+12x+8)\cdot(x^3+6x^2+12x+8)}\end{gathered}
(x+2)
6
=
(x+2)
3
⋅(x+2)
3
=
(x
3
+3⋅x
2
⋅2+3⋅x⋅2
2
+2
3
)⋅(x+2)
3
=
(x
3
+6x
2
+3⋅x⋅4+8)⋅(x+2)
3
=
(x
3
+6x
2
+12x+8)⋅(x+2)
3
=
(x
3
+6x
2
+12x+8)⋅(x
3
+6x
2
+12x+8)
Nesse momento os cálculos ficarão muito extensos, logo, irei dividir em duas linhas no LaTeX.
\begin{gathered}\mathsf{(x^6+6x^5+12x^4+8x^3)+(6x^5+36x^4+72x^3+48x^2)}\\\\\mathsf{+(12x^4+72x^3+144x^2+96x)+(8x^3+48x^2+96x+64)}\end{gathered}
(x
6
+6x
5
+12x
4
+8x
3
)+(6x
5
+36x
4
+72x
3
+48x
2
)
+(12x
4
+72x
3
+144x
2
+96x)+(8x
3
+48x
2
+96x+64)
Como queremos apenas o coeficiente de x⁴, irei separar e calcular apenas os que tem x⁴.
\begin{gathered}\mathsf{12x^4+36x^4+12x^4=}\\\\\mathsf{48x^4+12x^4=}\\\\\boxed{\mathsf{60x^4}}\end{gathered}
12x
4
+36x
4
+12x
4
=
48x
4
+12x
4
=
60x
4
O coeficiente será 60.
Quaisquer dúvidas, deixe nos comentários.
Bons estudos.