Question

(CESGRANRIO) Na figura dada, as circunferências de centros P e S são ambas tangente à reta t no mesmo ponto Q e a reta que passa por P e R tangencia a circunferência menor no ponto T. Sendo os raios das circunferências respectivamente 8m e 3m, a medida, do
segmento QR é:

A) 4 m
B) 6 m
C) 8 m
D) 2 m
E) diferente dos quatro valores anteriores

O GABARITO é a alternativa ''B''

Answer 1

Como $Q$ é o ponto de tangência, temos que, o triângulo $PQR$ é retângulo em $Q$.

Além disso, sendo $TR$ e $QR$ segmentos tangentes que partem do mesmo ponto, podemos afirmar que, $TR=QR$

Seja $U$ o ponto de interseção entre o segmento $PS$ e a circunferência menor.

Veja que, $PU=PQ-UQ=8-6=2$. Aplicando uma das propriedades da potência de ponto, obtemos:

$PT^2=PU\cdot PQ~~\Rightarrow~~PT^2=2\cdot8~~\Rightarrow~~~PT^2=16~~\Rightarrow~~PT=4~\text{m}$

Agora podemos utilizar o Teorema de Pitágoras e determinar $QR$:

$PR^2=PQ^2+QR^2$

Veja que $PR=PT+TR$. Mas, $TR=QR$, logo, $PR=PT+QR$.

Seja $QR=x$. Assim, $PR=4+x$ e $(4+x)^2=8^2+x^2$.

$16+8x+x^2=64+x^2~~\Rightarrow~~8x=64-16~~\Rightarrow~~8x=48~~\Rightarrow~~\boxed{x=6~\text{m}}$

Portanto, $QR=6~\text{m}$.

Letra B :)