Question

(CESGRANRIO) Em determinada cidade, 80 pessoas foram entrevistadas sobre o meio de transporte utilizado para ir ao trabalho. Quarenta e duas responderam ônibus, 28 responderam carro e 30 responderam metrô. Doze utilizam ônibus e carro, 14, carro e metrô e 18, ônibus e metrô. Cinco utilizam ônibus, carro e metrô. Dentre as pessoas que responderam que utilizam pelo menos um desses três meios de transporte, a probabilidade de que uma pessoa selecionada, ao acaso, utilize somente um desses veículos é de: a) 27/56 b) 56/61 c) 56/80 d) 27/61 e) 27/80

Answer 1

27/61 é a probabilidade de selecionar ao acaso uma pessoa que utiliza apenas um meio de transporte dentre as pessoas que responderam que utilizam pelo menos um desses três meios de transporte, alternativa D está correta.

Teoria dos conjuntos

Esta questão pode ser resolvida por princípios associados à área da matemática denominada Teoria dos Conjuntos. Observe que temos 3 conjuntos, representando as pessoas que utilizam ônibus, carro ou metrô como meio de transporte. Trataremos cada transporte utilizado como conjuntos A, B e C, respectivamente.

Assim, sabemos que 42 pessoas responderam que utilizam ônibus, no entanto, 12 delas utilizam ônibus e carro, 18 utilizam ônibus e metrô e 5 utilizam ônibus, carro e metrô. Logo, o número de pessoas que utilizam apenas ônibus é dado por:

$A=n(A)-[(n(A{\displaystyle \cap }B}) + n(A{\displaystyle \cap }C)) - n(A{\displaystyle \cap }B{\displaystyle \cap }C)]$

A = 42 - [(12 + 18) - 5]

A = 42 - [30 - 5]

A = 42 - 25

A = 17

Assim, sabemos que 17 é o número de pessoas que utilizam apenas ônibus. Para carro, temos que 28 pessoas utilizam carro, das quais 12 utilizam carro e ônibus, e 14 utilizam carro e metrô, 5 utilizam os três. Logo:

$B=n(B)-[(n(B{\displaystyle \cap }A}) + n(B{\displaystyle \cap }C)) - n(A{\displaystyle \cap }B{\displaystyle \cap }C)]$

B = 28 - [(12 + 14) - 5]

B = 28 - [26 - 5]

B = 28 - 21

B = 7

Assim, 7 pessoas utilizam apenas carro. Agora para os que usam metrô temos que 30 pessoas utilizam, sendo que 14 utilizam carro e metrô e 18 utilizam ônibus e metrô, e 5 utilizam os três. Então:

$C=n(C)-[(n(C{\displaystyle \cap }A}) + n(C{\displaystyle \cap }B)) - n(A{\displaystyle \cap }B{\displaystyle \cap }C)]$

C = 30 - [(18 + 14) - 5]

C = 30 - [32 - 5]

C = 30 - 27

C = 3

Assim, descobrimos que são 3 pessoas que utilizam apenas metrô. Somando tudo, teremos a quantidade de pessoas que utilizam apenas um transporte. Logo:

17 + 7 + 3 = 27

Descobrimos então que 27 é o total de pessoas que utilizam apenas um meio de transporte. Por fim, precisamos calcular quantas pessoas utilizam pelo menos um meio de transporte, para isto, precisamos descobrir quantas utilizam dois meios de transporte. Para isto, basta utilizar os valores das intersecções entre dois meios de transporte, subtraindo da intersecção dos três. Logo:

A∩B = 12 - 5

A∩B = 7

A∩C = 18 - 5

A∩C = 13

B∩C = 14 - 5

B∩C = 9

Somando o total de pessoas que utilizam um meio de transporte (27 pessoas) com o total de pessoas que utilizam dois meios de transporte e três meios de transporte, temos que:

A + B + C + A∩B + A∩C + B∩C + A∩B∩C = 27 + 7 + 13 + 9 + 5

A + B + C + A∩B + A∩C + B∩C + A∩B∩C = 61

Assim, descobrimos que é 61 o total de pessoas que utilizam pelo menos um meio de transporte. Sabendo que a probabilidade é dada pela razão do número de eventos de interesse pelo total de eventos possíveis, a probabilidade de uma pessoa selecionada ao acaso dentre as pessoas que utilizam pelo menos um meio de transporte utilizar apenas um meio é dada por:

P = 27/61

Assim, a alternativa D está correta.

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