Question

(Cescem – SP) O lado de um triângulo eqüilátero mede 3 cm. Unindo-se os pontos médios de seus lados, obtém-se um novo triângulo eqüilátero, e assim sucessivamente.

a) Determine a soma dos perímetros de todos os triângulos.

b) Determine a soma das áreas de todos os triângulos

Obrigada pela ajuda!!!​

Answer 1

Resposta:

a) 18cm

b) $3\sqrt{3} cm^{2}$

Explicação passo-a-passo:

a) Perímetro do triângulo equilátero 1: P = 3 x a = 3 x 3 = 9cm

Perímetro do triângulo equilátero 2: P = 3 x a' = 3 x 1,5 = 4,5cm

...

Perímetro do triângulo equilátero n: P = 3 x a = 3a cm

Temos uma P.G infinita. Descobriremos a razão dessa P.G. no que tende os perímetros:

Q = A2 / A1 = 4,5 / 9 = 1 / 2 ou 0,5.

Soma dos infinitos termos (perímetros) = Sn = a1 / (1 - q)

Sn = 9 / (1 - 1/2) = 9 / 1/2 = 9 x 2 = 18cm;

b) Área do triângulo equilátero 1: S = (l²$\sqrt{3}$)/4 = (9$\sqrt{3}$)/4

Área do triângulo equilátero 2: S = (2,25$\sqrt{3}$)/4

Novamente, nos deparamos com uma P.G. infinita. Descobriremos, então, a razão dessa P.G. para, posteriormente, descobrirmos a soma das infinitas áreas do Δ equilátero$:$

Q = A2 / A1 = 9 / 2,25 = 1/4 = 0,25 (anulamos o denominador 4, pois se repete tanto no numerador geral quanto denominador geral). Logo, a razão da P.G é 1/4. Agora, realizaremos a soma das infinitas áreas do Δ equilátero$:$

Sn = (9$\sqrt{3}$)/4  /   1 - 1/4 = 9$\sqrt{3}$ / 3 = 3$\sqrt{3}$ cm²

Essa questão representou um problema de Soma dos Infinitos termos de uma P.G. Espero ter ajudado, afinal tenho certeza que leu a questão mas teve dificuldade. Não custa ajudarmos, certo? ^^