Question

certo poliedro convexo possui apenas faces triangulares, quadrangulares e pentagonais. determine o número de faces de cada tipo, sabendo que o poliedro tem 7 vértices e que o número de faces triangulares excede o de faces pentagonais em duas unidades.

Answer 1

Sejam:
$F_3$ as faces triangulares
$F_4$ as faces quadrangulares
$F_5$ as faces pentagonais

Sabemos que:
$V=7$
$F_3=F_5+2$
$A+2=V+F$
$2A=3F_3+4F_4+5F_5$

Dessa forma teremos:
$A = F+5$

Consequentemente:
$2F+10=3F_3+4F_4+5F_5$
$2F_3+2F_4+2F_5+10=3F_3+4F_4+5F_5$
$10 = F_3+2F_4+3F_5$
$10=F_5+2+2F_4+3F_5$
$8=2F_4+4F_5$
$4=F_4+2F_5$

Como $F_4$ e $F_5$ são números inteiros positivos nesse problema teremos necessariamente:
$F_4=2$ e $F_5=1$
E dessa forma $F_3=3$.