Matemática, perguntado por franciscoponhes, 1 ano atrás

Centrodemassae momentosdeinérciaUma 'gamela'sólidade
densidade constante é limitado abaixo pela superfície z = 4y2,
acima pelo plano z = 4 e dos lados pelos planos x = 1 e
x = - 1. Encontre o centro de massa e os momentos de inércia
em relação aos três eixos.

Soluções para a tarefa

Respondido por carlosmath
2
La gráfica queda a tu cargo.
sea la densidad del sólido \rho(x,y,z)=k.

Región de integración D=\left\{(x,y,z):-1\leq x\leq 1\;,\;-1\leq y\leq 1\;,\;4y^2\leq z\leq 4\right\}

MASA
\displaystyle
M=\iiint\limits_{D} \rho(x,y,z)dV \\ \\
M=k\iiint\limits_{D} dV \\ \\
M=k\int_{-1}^1\int_{-1}^1\int_{4y^2}^4dzdydx\\ \\
M=2k\int_{-1}^1 4-4y^2 dy = \dfrac{32k}{3}

MOMENTOS DE INERCIA
EJE X
\displaystyle
M_x=\iiint\limits_{D} x\cdot \rho(x,y,z)dV =k\iiint\limits_{D} xdV\\ \\
M_x = k\int_{-1}^1\int_{-1}^1\int_{4y^2}^4xdzdydx\\ \\
M_x = k\int_{-1}^1\int_{-1}^1x(4-4y^2)dydx\\ \\
M_x = k\int_{-1}^1\dfrac{8}{3}xdx\\ \\
\boxed{M_x=0}

EJE Y
\displaystyle
M_y=\iiint\limits_{D} y\cdot \rho(x,y,z)dV =k\iiint\limits_{D} ydV\\ \\
M_y=\int_{-1}^1\int_{-1}^1\int_{4y^2}^4ydzdydx\\ \\
M_y=\int_{-1}^1\int_{-1}^1y(4-4y^2)dydx\\ \\
\boxed{M_y=0}

EJE Z
\displaystyle 
M_z=\iiint\limits_{D} z\cdot \rho(x,y,z)dV =k\iiint\limits_{D} zdV\\ \\ 
M_z=k\int_{-1}^1\int_{-1}^1\int_{4y^2}^4zdzdydx\\ \\ \boxed{M_z=\dfrac{128k}{5}}

Por lo tanto el centro de masa es:
                         G=\left(0,0,\dfrac{12}{5}\right)

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