Question

Células de E. coli em forma de bastão têm cerca de 2 mm de comprimento e 0,8 mm de diâmetro. O volume de um cilindro é πr2h, onde h é a altura do cilindro.

a) Se a densidade média da E. coli (na maior parte água) é 1,1 103 g/L, qual é a massa de uma única célula?
b) E. coli tem um envelope de proteção celular de 10 nm de espessura. Qual porcentagem do volume total da bactéria é ocupada pelo envelope?
c) E. coli é capaz de crescer e se multiplicar rapidamente porque contém cerca de 15.000 ribossomos esféricos (diâmetros de 18 nm), que realizam a síntese de proteínas. Qual porcentagem do volume celular é ocupada pelos ribossomos?

Answer 1

Analisando as razões geometricas da celula, temos que:

a) $m=1,1103.10^{-4}g$.

b) 0,005%.

c) $4,55.10^{-12}$ ou $4,55.10^{-10}$%.

Explicação:

a) Se a densidade média da E. coli (na maior parte água) é 1,1 103 g/L, qual é a massa de uma única célula?

Primeiramente vamos encontrar o volume do bastão passando as medidas para metros, para facilitar:

$2mm=2.10^{-3}m$

$4mm=4.10^{-3}m$ (Estou usando metade do diametro, pois é o raio que vamos precisar.)

Agora basta acharmos o volume do cilindro:

$V=\pi.r^2.h$

$V=\pi.(4.10^{-3})^2.2.10^{-3}$

$V=\pi.16.10^{-6}.2.10^{-3}$

$V=\pi.32.10^{-9}$

$V=3,14.32.10^{-9}$

$V=100.10^{-9}$

$V=10^{-7}m^3$

Assim temos este volume em metros cubicos, mas precisamos dele em Litros, assim basta multiplicar por 1000, pois cada metro cubico tem 1000 Litros:

$V=10^{-7}.1000$

$V=10^{-4}L$

Assim temos também o volume em Litros, e como este objeto tem 1,1103 gramas por litro, então:

$m=1,1103.10^{-4}g$

Assim temos que a massa desta celula é de 1,1103 . 10^{-4} gramas.

b) E. coli tem um envelope de proteção celular de 10 nm de espessura. Qual porcentagem do volume total da bactéria é ocupada pelo envelope?

Primeiramente vamos passar este comprimento para metros:

$10nm=10.10^{-9}=10^{-8}m$

Agora basta acharmos o volume deste cilindro tirando do tamanho do raio este valor de espessura, assim teremos o volume interior:

$V=\pi.r^2.h$

$V=\pi.(4.10^{-3}-10^{-8})^2.2.10^{-3}$

$V=\pi.(3,9999.10^{-3})^2.2.10^{-3}$

$V=\pi.15,9992.2.10^{-9}$

$V=\pi.31,9984.10^{-9}$

Pegando este volume e dividindo pelo anterior e teremos nossa razão, e note que podemos cortar varias coisas que eles tem em comum como o pi e a potencia de 10, ficando somente:

$\frac{31,9984}{32}=0,99995$

Assim este volume sem a camada protetora representa 99,995% da celula, logo, a camada representa 0,005% da celula.

c) E. coli é capaz de crescer e se multiplicar rapidamente porque contém cerca de 15.000 ribossomos esféricos (diâmetros de 18 nm), que realizam a síntese de proteínas. Qual porcentagem do volume celular é ocupada pelos ribossomos?

Primeiramente vamos passa o raio deste ribossomos para metros:

$9nm=9.10^{-9}m$

Agora vamaos usar a formula de volume de esferas:

$V=\frac{4}{3}.\pi.r^3$

$V=\frac{4}{3}.\pi.(9.10^{-9})^3$

$V=\frac{4}{3}.\pi.729.10^{-27}$

$V=\pi.972.10^{-27}$

$V=\pi.9,72.10^{-25}$

$V=30,536.10^{-25}$

$V=3,05.10^{-24}m^3$

Mas temos que multiplicar este valor por 15000, pois existem 15000 celulas desta:

$V=15000.\pi.9,72.10^{-25}$

$V=\pi.145800.10^{-24}$

$V=\pi.1,458.10^{-19}$

Agora basta dividirmos este volume pelo volume da celular total e teremos a porcentagem:

$\frac{\pi.1,458.10^{-19}}{\pi.32.10^{-9}}$

$\frac{1,458.10^{-10}}{32}$

$0,0455.10^{-10}$

$4,55.10^{-12}$

Assim a razão do volume celular ocupado pelos ribossomos é minima, quase 0%.