Question

Célio, necessito urgentemente de você.

 

$\int\int\int_E~x~dV$, onde E é limitado pelo parabolóide $x=4y^2+4z^2$ e pelo plano $x=4$

 

Me monta as integrais, não precisa resolver, só me ajuda a ver o que estou fazendo de errado... passei 2 horas agora de madrugada tentando resolver e achando valores e valores diferentes, eu fiz com coordenadas cilíndricas e achei:

 

$\boxed{\boxed{\int\limits_{0}^{2\pi}\int\limits_{0}^{1}\int\limits_{4\rho}^{4}~x~dx~d\rho~d\varphi=4\pi}}$

 

E no gabarito do livro da como

 

$\boxed{\boxed{\int\int\int_E~x~dV=\frac{16\pi}{3}}}$

Answer 1

Desenhando esse gráfico teremos da seguinte forma do anexo.

Assim podemos montar os intervalos da$\int\limits^{} { \int\limits^{} { \int\limits^{} {x} } } \, dV$

Podemos transformar o dV em dxdA, onde vamos obter os limites em x, que o limite inferior é sua função f(y,z) = 4y^2 + 4z^2 e o superior é o plano onde x=4.

Depois, com isso podemos projetar nosso gráfico sobre o plano yz já que a coordenada x já foi analisada, assim vemos que a mesma forma uma circunferência de raio 1. que também pode ser obtida substituindo o x=4 na sua função:
$x = 4 \\ x = 4y^2 + 4z2 \\ 4 = 4(y^2+z^2) \\ 1 = y^2 +z^2$

Temos uma equação da circunferencia na origem de raio 1 que é feita com o eixo y e z, assim podemos parametrizar com coordenadas polares, onde:
$y=rcos(\theta) \\ z =rsen(\theta)$

E o elemento infinitesimal de área é:

$dA = rdrd\theta$

Substituindo isso e resolvendo teremos:

$\[\int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} \int_{4y^{2}+4z^{2}}^{4}xdxdA\]$
$\int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} \frac{1}{2}(4^2 - (4y^2+4z^2)^2))dA$
$\int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} \frac{1}{2}(16 - (16(y^2+z^2)^2)dA$
$\\int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} 8(1 - (r^2cos^2(\theta)+r^2sen^2(\theta))^2rdrd\theta$
$\int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} 8(1 - (r^4))rdrd\theta$
$8\int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} r - r^5drd\theta$
$8\int_{0}^{2\pi} \left ( \frac{1}{2}-\frac{1}{6} \right )d\theta$
$\frac{8}{3}\int_{0}^{2\pi} d\theta$
$\frac{8.2\pi}{3}$
$\frac{16\pi}{3}$