Question

CEFET/RJ (DISCURSIVA) - 2016) Na figura abaixo:
• Os pontos B, F e E são colineares;
• Os pontos A, D e E são colineares;
• ABCD é um quadrilátero equiângulo;
• O segmento EB é bissetriz do ângulo CEA;
• O ângulo ABE mede 60° e o segmento BC mede 18 cm.
Com essas informações, calcule a medida da área, em cm2, do triângulo BCE.
Solução: Note que como AÊB = 30o, pois este é um ângulo alterno interno com EB̂C . E como EB é bissetriz de CÊA,
tem-se que BÊC = 30o, logo CBE é isósceles com base BE. A altura relativa ao lado CB do triângulo ECB é o segmento

Answer 1

a uur e98)8 leowlam

Answer 2

Resposta:

A = 81√3 cm²

Explicação:

Note que a soma dos ângulos internos do triângulo ∆AEB é igual a 180 graus, então temos que:

I )  BÊA + 60 + 90 = 180 ⇔ BÊA = 30 graus

II)  Se o segmento EB é bissetriz do ângulo CÊA e BÊA = 30, então CÊB = 30   graus também.

III)  O ângulo CBA é reto, e uma parte deste ângulo vale 60, logo o ângulo CBE = 30 grau

IV) Com as informações II e III, concluímos que ∆CEB é isósceles de base EB

V) Como ∆CBFB é triângulo retângulo, o ângulo CFB vale 60 graus

VI) O ângulo ECD vale 30, logo ∆EFC é isósceles de base CE

Sabendo que temos um triângulo especial ∆BFC (pois seus ângulos agudos são notáveis 60 e 30) vamos usar alguns conceitos básicos de trigonometria

Aplicando o cosseno do ângulo FBC, temos:

$cos(30) = \frac{\sqrt{3} }{2} \\\\cos(30) = \frac{18}{FC} \\\\\frac{\sqrt{3} }{2} = \frac{18}{FC} \\\\FC = 6\sqrt{3}$

Aplicando o seno do mesmo ângulo (FBC), temos:

$sen(30) = \frac{1}{2}\\\\sen(30) = \frac{6\sqrt{3} }{FB} \\\\\frac{1}{2} = \frac{6\sqrt{3} }{FB}\\\\FB = 12\sqrt{3}$

Da sexta informação, afirmamos que FC = 6√3 = FE então:

FB = 12√3  ∧  FE = 6√3 ⇒ BE = 18√3

Note que o temos os valores de todos os lados do ∆CEB, então podemos descobrir a altura relativa ao lado EB aplicando  o teorema de pitágoras (veja a segunda foto), então:

$18^{2} = h^{2} + (9\sqrt{3} )^{2}\\\\h = 9 cm$

Agora que temos a altura e a base, finalmente podemos calcular a área do ∆CEB, logo, temos que:

$A = \frac{bh}{2}\\\\A = \frac{18\sqrt{3}.9 }{2}\\\\A = 81\sqrt{3}$cm²

Se vocês gostaram da minha solução, por favor dá um like aeeeeeee !!!