Question

(Cefet-MG)
Seja A = (aij) a matriz quadrada de ordem 3, onde aij ={2i-3 se i < j}
{i-j se = j }
{i+j se i > j}
determinante de A é igual a:

a)-57
b)-19
c) 0
d) 19
e) 57​

Answer 1

Para calcular sua questão primeiramente devemos criar a matriz genérica de ordem 3 e calcular todos os termos seguindo as leis " aij ={2i-3 se i < j}  {i-j se = j }  {i+j se i > j} ". Vamos lá!

$\large\sf \left[\begin{array}{ccc}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{array}\right]$

Agora devemos calcular todos os termos da matriz que criamos. Lembrando que devemos sempre seguir as três leis dadas na questão " aij ={2i-3 se i < j}  {i-j se = j }  {i+j se i > j} ".

$\large\begin{array}{lr} \sf a11 = i-j = 1-1 = \underline{\boxed{\red{\sf 0}}}\\\\\sf a12 = 2i-3 = 2*1 - 3 = \underline{\boxed{\red{\sf -1}}}\\\\\sf a13 = 2i-3 = 2*1 - 3 = \underline{\boxed{\red{\sf -1}}}\\\\\sf a21 = i+j = 2 +1 = \underline{\boxed{\red{\sf 3}}}\\\\\sf a22 = i-j = 2 - 2= \underline{\boxed{\red{\sf 0}}}\\\\\sf a23 = 2i-3= 2*2 - 3= \underline{\boxed{\red{\sf 1}}}\\\\ \end{array}$

$\large\begin{array}{lr} \sf a31 = i+j = 3+1 = \underline{\boxed{\red{\sf 4}}}\\ \\\sf a32 = i+j = 3+2 = \underline{\boxed{\red{\sf 5}}}\\\\\sf a33 = i-j = 3-3= \underline{\boxed{\red{\sf 0}}} \end{array}$

Com isso podemos trocar os termos da matriz que criamos pelos valores que encontramos. Veja:

$\large\sf \left[\begin{array}{ccc}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{array}\right] \Longleftrightarrow \large\sf \left[\begin{array}{ccc}0&-1&-1\\3&0&1\\4&5&0\end{array}\right]$

Agora que sabemos a matriz A podemos calcular seu determinante através da Regra de Sarrus, essa regra consiste em repetir as duas primeiras colunas, fazer a soma do produto da diagonal principal e subtrair da soma do produto da diagonal secundária. Veja:

$\sf A= \large\sf \left[\begin{array}{ccc}0&-1&-1\\3&0&1\\4&5&0\end{array}\right]$

$\large\sf \left|\begin{array}{ccc}0&-1&-1\\3&0&1\\4&5&0\end{array}\right| \large\sf \left|\begin{array}{ccc}0&-1\\3&0\\4&5\end{array}\right| \rightarrow DP = 0*0*0 + (-1)*1*4+(-1)*3*5$

$\large\sf \left|\begin{array}{ccc}0&-1&-1\\3&0&1\\4&5&0\end{array}\right| \large\sf \left|\begin{array}{ccc}0&-1\\3&0\\4&5\end{array}\right| \rightarrow DS = 4*0*(-1) +5*1*0+0*3*(-1)$

DP - DS =

0*0*0 + (-1)*1*4+(-1)*3*5 - (  4*0*(-1) +5*1*0+0*3*(-1) ) =

0 + (-4) + ( -15 ) - 0 - 0 - 0 =

( - 4 ) + ( - 15 ) =

$= \underline{\boxed{\red{\sf -19}}}$

Concluirmos então que o determinante da matriz A é igual a -19 e está correspondente a alternativa b.

Espero ter ajudado.

Bons estudos.

• Att. FireClassis.