Question

(CEFET 2015) Se

$x+\frac{1}{x} =3$ e $8x^{6} +4x^{3} y^{2} \neq 0$

então o valor numérico da expressão

$\frac{4x^{9}+2x^{6}y^{2}+4x^{3} +2y^{2} }{8x^{6}+4x^{3}y^{2} }$

é igual a :

Answer 1

$\frac{4x^9+2x^6y^2+4x^3+2y^2}{8x^6+4x^3y^2} \\\\= \frac{2x^6 (2x^3+y^2)+2 (2x^3+y^2)}{4x^3(2x^3+y^2)} \\\\= \frac{(2x^6+2)(2x^3+y^2)}{4x^3 (2x^3+y^2)} = \frac{2x^6+2}{4x^3} \\\\= \frac{x^6+1}{2x^3} = \frac{x^6}{2x^3} \frac{1}{2x^3} \\\\= \frac{1}{2} (x^3+\frac{1}{x^3} )$

Eu não sei se fiz da maneira exatamente ''correta'' ou simples de se fazer, mas o meu raciocínio foi o seguinte. A questão te forneceu o valor da expressão

$x+\frac{1}{x} =3$

Então, eu tentei colocar ela na equação, no lugar de $x^3+\frac{1}{x^3}$. Contudo, para isso, eu precisei multiplicar ela por outro número, que eu chamei de T, que  tentei encontrar através de

$x+\frac{1}{x} . T=x^3+\frac{1}{x^3} \\\\ \frac{x^2+1}{x} . T=\frac{x^6+1}{x^3}\\\\T=\frac{x^6+1}{x^3} . \frac{x}{x^2+1} \\\\ T=\frac{x.(x^6+1)}{x^3(x^2+1)} \\\\T=\frac{x^6+1}{x^2(x^2+1)} \\\\T=\frac{x^6+1}{x^4+x^2} \\\\T =\frac{x^6+1}{x^2(x^2+1)}$

Neste ponto eu precisei utilizar a propriedade $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$ sobre $x^6+1$ . Como o x está elevado à sexta potência, que é o dobro do expoente de $a^3$ , todos os números terão o expoente dobrado no resultado. Assim

$T=\frac{(x^2+1)(x^4-x^2+1)}{x^2(x^2+1)} \\\\T=\frac{x^4-x^2+1}{x^2} \\\\T=\frac{x^2(x^2-1)+1}{x^2} \\\\T=\frac{x^2(x^2-1)}{x^2} + \frac{1}{x^2} \\\\T=x^2-1+\frac{1}{x^2}$

Achando o valor de T, substituímos de volta na primeira equação

$\frac{1}{2} (x^3+\frac{1}{x^3}) \\\\=\frac{1}{2} (x+\frac{1}{x}).T \\\\=\frac{1}{2} (x+\frac{1}{x})(x^2-1+\frac{1}{x^2})$

A partir da equação $x+\frac{1}{x} =3$ fornecida pela questão, elevando ambos os membros ao quadrado, chegamos a

$(x+\frac{1}{x})^2=3^2 \\\\x^2+2.x.\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}=9\\\\x^2+2+\frac{1}{x^2}=9 \\\\x^2+\frac{1}{x^2}=7$

Esta equação se relaciona muito com o valor de T recentemente encontrado. Podemos, então, fazer uma substituição

$\frac{1}{2} (x+\frac{1}{x})(x^2-1+\frac{1}{x^2}) \\\\=\frac{1}{2} . 3 . (-1+x^2+\frac{1}{x^2}) \\\\= \frac{3}{2} (-1+7) \\\\\=\frac{3}{2} . 6 \\\\=9$

$=9$

Answer 2

Resposta:

A solução do  LeonamVinicius  foi brilhante apenas ele fez uma pequena relutância para chegar na Soma de dois cubos

Explicação passo a passo:

$\frac{1}{2} (x^{3} +\frac{1}{x^{3} } ) =\frac{1}{2} (x + \frac{1}{x} )(x^{2} - 1 + \frac{1}{x^{2} } )$

Pois a Formula da  soma de dois cubos e conhecida

$(a^{3} + b^{3} )=(a + b).(a^{2} -a.b + b^{2} )$

De qualquer modo merece os parabéns @ LeonamVinicius