Question

Caucule o valor de sec² x/cossec x * cos x , sabendo que tg x = 3/2

Answer 1

Queremos o seguinte:

$\dfrac{sec(x)}{csc(x) * cos(x)}$

Vamos analisar individualmente, começando pelo denominador:

$csc(x) = \frac{1}{sin(x)} \\ \\ csc(x) * cos(x) = \frac{1}{sin(x)} * cos(x) = \frac{cos(x)}{sin(x)}$

Sabemos que:

$tg(x)= \frac{sin(x)}{cos(x)}$

Logo:

$\frac{cos(x)}{sin(x)} = \frac{1}{tg(x)} = cot(x)$

Analisando a parte do numerador:

$sec^2(x) = \frac{1}{cos^2(x)}$

Logo sabendo que $sin(x) = tg(x) * cos(x)$:

$sin(x) = \frac{3}{2}* cos(x) \to sin^2(x) = \frac{9}{4} *cos^2(x) \\ \\ sin^2(x) + cos^2(x) = 1 \\ \\ \frac{9}{4} *cos^2(x) + cos^2(x) = 1 \\ \\ \frac{13}{4} *cos^2(x) = 1 \\ \\ cos^2(x) = \frac{4}{13}$

Logo:

$\frac{sec^2(x)}{cot(x)} = \frac{1}{cos^2(x)} * tg(x) = \frac{1}{ \frac{4}{13} } * \frac{3}{2} = \frac{13}{4} * \frac{3}{2} = \boxed{\frac{39}{8} }$