caucule o primeiro termo de um P.A em q o 50 e -100 e a razão e 2
Soluções para a tarefa
Olá! Segue a resposta com algumas explicações.
(I)Interpretação do problema:
Do enunciado, tem-se:
a)primeiro termo (a₁), ou seja, o termo que ocupa a primeira posição: ?
b)quinquagésimo termo (a₅₀): -100
c)número de termos (n): 50 (Justificativa: Embora a PA seja infinita, para o cálculo de um determinado termo, é feito um "corte" nesta PA infinita, de modo a considerar a posição que o termo ocupa (no caso, 50ª), equivalente ao número de termos.)
d)razão (r), valor constante utilizado para a obtenção dos sucessivos termos, será obtida por meio da diferença entre um termo qualquer e seu antecessor imediato: 2
e)Embora não se saiba o valor do primeiro termo, pode-se afirmar, pela simples observação do quinquagésimo termo e da razão que ele será negativo, pois se se pensar nos demais quarenta e nove termos anteriores e que, para se obtê-los a partir do último fornecido, deve-se subtrair a razão, de modo que serão contadas negativamente 49.r ("menos quarenta e nove vezes a razão), invalidando qualquer possibilidade de um número positivo.
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(II)Aplicação das informações fornecidas pelo problema na fórmula do termo geral (an) da P.A, para obter-se o primeiro termo:
an = a₁ + (n - 1) . r ⇒
a₅₀ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒
-100 = a₁ + (50 - 1) . (2) ⇒
-100 = a₁ + (49) . (2) ⇒ (Veja a Observação 1 abaixo.)
-100 = a₁ + 98 ⇒
-100 - 98 = a₁ ⇒
-198 = a₁ ⇔ (O símbolo ⇔ significa "equivale a".)
a₁ = -198
Observação 1: Foi aplicada na parte destacada a regra de sinais da multiplicação: dois sinais iguais, +/+ ou -/-, resultam sempre em sinal de positivo (+).
Resposta: O primeiro termo da P.A. é -198.
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DEMONSTRAÇÃO (PROVA REAL) DE QUE A RESPOSTA ESTÁ CORRETA
→Substituindo a₁ = -198 na fórmula do termo geral da PA e omitindo, por exemplo, a razão (r), verifica-se que o valor correspondente a ela será obtido nos cálculos, confirmando-se que o primeiro termo realmente corresponde ao afirmado:
an = a₁ + (n - 1) . r ⇒
a₅₀ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒
-100 = -198 + (50 - 1) . (r) ⇒
-100 = -198 + (49) . (r) ⇒
-100 + 198 = 49.r ⇒
98 = 49.r ⇒
98/49 = r ⇒ (Veja a Observação 2.)
2 = r ⇔ (O símbolo ⇔ significa "equivale a".)
r = 2 (Provado que a₁ = -198.)
Observação 2: Na parte destacada, foi aplicada a regra de sinais da divisão: dois sinais iguais, +/+ ou -/-, resultam sempre em sinal de positivo (+).
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