Question

Caucule o lim de x^2-2x/x^2-x-2

Answer 1

 =lim  (x² -2x)/(x²-x-2)
    x=>2
=lim  x(x-2)/(x+1)(x-2)
   x=>2
=lim   x/x+1
    x=>2

= lim  2/(2+1)=  2/3
     x=>2

Answer 2

$\lim\limits_{x\rightarrow2}\dfrac{x^{2}-2x}{x^{2}-x-2}$

Quando tentamos substituir x por 2, encontramos a indeterminação 0/0, o que indica que x = 2 é raiz do numerador e o denominador

Vamos fatorar os polinômios, escrevendo esses em função de suas raízes

Note que

$x^{2}-2x=x\cdot(x-2)~~~(ra\'izes:~0~e~2)$

Achando as raízes do denominador por soma e produto:

$S=-\dfrac{b}{a}=-\dfrac{(-1)}{1}=1~~;~~P=\dfrac{c}{a}=-\dfrac{2}{1}=-2$

Os dois números cuja soma é 1 e o produto é -2 são -1 e 2 (raízes)

Então, podemos reescrever x² - x - 2:

$x^{2}-x-2=(x-[-1])\cdot(x-2)=(x+1)\cdot(x-2)$
_______________________________

$\lim\limits_{x\rightarrow2}\dfrac{x^{2}-2x}{x^{2}-x-2}=\lim\limits_{x\rightarrow2}\dfrac{x(x-2)}{(x+1)(x-2)}$

Como o limite estuda o comportamento da função para x arbitrariamente próximo (mas diferente) de 2, temos que x ≠ 2, portanto, (x - 2) ≠ 0, então podemos cancelar (x - 2), ficando com:

$\lim\limits_{x\rightarrow2}\dfrac{x^{2}-2x}{x^{2}-x-2}=\lim\limits_{x\rightarrow2}\dfrac{x}{x+1}$

A função racional obtida é contínua em x = 2, então

$\lim\limits_{x\rightarrow2}\dfrac{x^{2}-2x}{x^{2}-x-2}=\dfrac{2}{2+1}\\\\\\\boxed{\boxed{\lim\limits_{x\rightarrow2}\dfrac{x^{2}-2x}{x^{2}-x-2}=\dfrac{2}{3}}}$