Question

caucule a soma dos 200 primeiros termos pares positivos

Answer 1

Seja S = (2, 4, 6, ...) a sequência de números pares. Então, nessa sequência, temos

Como a sequência é formada por números pares, sabemos que a razão é 2. Então, falta descobrir qual é o termo de número 200.


$a_{n} = a_1 + (n - 1)r \Rightarrow a_{200} = 2 + (200 - 1) \cdot 2 \Rightarrow\\\\ \Rightarrow a_{200} = 2 + 199 \cdot 2 = 2 + 398 = 400\\\\ a_{200} = 400$

Podemos resolver de duas formas:


1) Pela soma das sequências

S =  2  +  4  + ... +  398  +  400

reescrevemos S ao contrário e somamos

S =    2   +   4   + ... +  398  +  400
S = 400  + 398 + ... +    4    +    2

S + S = 2S, então,

$2S = 402 + 402 + ... + 402 + 402\\\\ 2S = 200 \cdot 402\\\\ 2S = 80.400\\\\ S = \dfrac{80.400}{2} = 40.200$



2) Pela fórmula

$Como\:\:a_1 = 2\:\: e\:\: a_n = 200\\\\ S_n = \dfrac{(a_1 + a_n)\cdot n}{2} \\\\ S_{200} = \dfrac{(2+400)\cdot200}{2} = \dfrac{402\cdot200}{2} =\dfrac{80400}{2} \\\\ S_{200} = 40.200$