Question

Caucule a Inversa da matriz

Answer 1

A matriz inversa é aquela cujo o produto resulta na matriz identidade, então:

$\left[\begin{array}{cc}3&2\\1&4\end{array}\right] * \left[\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\right] \\ \\ \left[\begin{array}{cc}3*a + 2 *c&3*b + 2*d\\a+4*c&b+4*d\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\right]$
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Então, montando as equações:

3*a + 2 *c = 1 (I)
b+4*d = 1 (II)
3*b + 2*d = 0 (III) 
a+4*c = 0  (IV)
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De (IV):
 a = -4c (V)
Substituindo em (I):
3 (-4c) + 2c = 1
-12c + 2c = 1
-10 c = 1
c = -1/10
Substituindo em (V)
a = -4(-1/10) = 4/10 
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De (III)
3*b + 2*d = 0 (III) 
d = -3b/2 (VI)
Substituindo em (II)
b+4*(-3b/2) = 1 
b -6b = 1
-5b = 1
b = -1/5
Substituindo em VI:
d = -3 (-1/5)/2 = 3/10

Logo a matriz inversa é dada por:

$\left[\begin{array}{cc}4/10&-1/5\\-1/10&3/10\end{array}\right]$